Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dello studio di alcune strutture algebriche astratte iniziato con il corso di Algebra 1, quali gli anelli e i campi. Si propone inoltre di fornire una conoscenza critica dei contenuti e dei metodi dell'algebra moderna.

Learning Goals

The course aims to provide a more detailed study of some abstract algebraic structures began with Algebra 1, as rings and fields and a critical knowledge of the content and methods of modern algebra.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Le attività potranno anche essere eventualmente erogate in modalità blended e-learning. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge sia attraverso lezioni frontali che esercitazioni con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Supporti alla didattica: Dispense complete del corso e tracce d'esame fornite e dal docente

Teaching Methods

Lectures and exercises sessions. The activities may also be optionally provided in blended e-learning mode. The course, in order to achieve the expected objectives takes place through lectures and exercises in the classroom with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking. Auxiliary teaching: Complete lecture notes

Prerequisiti

Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di Algebra I, in particolare con le tutte strutture algebriche ivi introdotte (gruppo, anello, campo).

Prerequisites

The course requires familiarity with the topics of the Algebra I course, in particular with all the algebraic structures introduced there (group, ring, field).

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta per verificare la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti a lezione e prova orale per verificare il grado di preparazione raggiunto e la proprietà di linguaggio rispetto agli argomenti trattati.

Assessment

Written prove to verify the degree of preparation achieved and the ability to apply the knowledge acquired to solve exercises related to the subjects carried out and oral prove to verify the degree of preparation and the property of language with respect to the topics covered.

Programma del Corso

Teoria degli anelli: Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Fattorizzazione in un monoide commutativo ad elementi regolari. Elementi associati, primi, irriducibili. Monoidi fattoriali. Anelli fattoriali. Teoremi di caratterizzazione. Anelli principali. Anelli euclidei. Anelli di interi algebrici. Anello degli interi di Gauss. Anelli di interi algebrici principali. Anelli di interi algebrici euclidei. Anello dei polinomi in un numero finito di indeterminate. Polinomi su un anello fattoriale. Polinomio primitivo. Lemma di Gauss. Teorema di Gauss. Condizioni di catena: anelli noetheriani, anelli artiniani. Teorema della base di Hilbert. Anello di Prufer. Teoria dei campi: Campi. Spazi vettoriali. Estensioni di campi. Grado di un'estensione. Elementi algebrici, trascendenti. Polinomio minimo. Estensioni finite. Estensioni semplici. Estensioni finitamente generate. Estensioni algebriche. Estensioni trascendenti. Chiusura algebrica di un sottocampo in un campo. Campi algebricamente chiusi. Teorema di caratterizzazione. Chiusura algebrica di un campo. Campo di spezzamento di un polinomio. Teorema di esistenza e unicità. Campi finiti e loro applicazioni.

Course Syllabus

Ring Theory: Quotient field of an integral domain. Factorization in a commutative monoid with regular elements. Associate, prime, irreducible element. Unique factorization commutative monoid with regular elements. Unique factorization domains. Characterization Theorems. Principal ideal domains. Euclidean Domains. Rings of algebraic integers. Gaussian integers. Principal ideal rings of algebraic integers. Euclidean rings of algebraic integers. Polynomial rings in a finite numbers of variables. Primitive polynomials. Gauss Lemma. Gauss Theorem. Chain conditions: noetherian rings, artinian rings. Hilbert basis theorem. Prufer ring. Field Theory: Fields. Vector spaces. Finite extensions. Simple extensions. Finitely generated extensions. Algebraic elements. Minimal polynomial. Transcendental elements. Algebraic extensions. Trascendental extensions. Algebraic closure of a subfield in a field. Algebraically closed fields. Characterization theorem. Algebraic closure of a field. Field splitting of a polynomial. Theorem of existence and uniqueness. Finite fields and their applications.