Obiettivi Formativi

Conoscenza degli elementi fondamentali della teoria di: successioni e serie di funzioni, spazi metrici, calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili, integrazione curvilinea di funzioni e forme differenziali, integrazione su superfici ed equazioni differenziali ordinarie.

Learning Goals

Knowledge of the basic elements of the theory of: function sequences and series, metric spaces, differential and integral calculus for functions of several variables, curvilinear integration of functions and differential forms, integration over surfaces and ordinary differential equations.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. E' previsto l'utilizzo di materiale che verrà proiettato in video, e messo a disposizione degli studenti da parte del docente.

Teaching Methods

Frontal lessons and exercises. Some written material will be shared by video, and it will be provided to the students by the teacher.

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di Analisi Matematica I e degli elementi di base di geometria analitica

Prerequisites

Mastery in the topics of Mathematical Analysis I and basic elements of analytical geometry

Verifiche dell'apprendimento

Prova orale finale, che verterà sia sugli argomenti trattati nelle lezioni teoriche che su quelli trattati nelle esercitazioni. La valutazione finale terrà conto in egual misura di entrambi gli aspetti (teoria ed esercitazioni), e verranno valutati il  grado di preparazione raggiunto (conoscenza e comprensione degli argomenti e capacità di calcolo acquisite), la proprietà di linguaggio e la capacità espositiva rispetto agli argomenti trattati, il grado di padronanza degli argomenti trattati e degli strumenti di calcolo acquisiti.

Assessment

Final oral examination, on both theory and exercises. The final rating will take into account both aspects (theory and exercises), and will be taken into account the level of preparation (knowledge and understanding of the arguments and calculus skills), language skills and exhibition capacity of the arguments, lever of mastery of the arguments and of the calculus tools.

Programma del Corso

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI: Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi sulla convergenza uniforme. Serie di funzioni. convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teoremi sulla convergenza uniforme. Serie di potenze. Raggio di convergenza e intervallo di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor di alcune funzioni notevoli. SPAZI METRICI: Spazi metrici. Topologia di uno spazio metrico. Successioni. Funzioni continue. Limiti. Spazi metrici completi. Funzioni Lipschitziane. Punti fissi. Teorema delle contrazioni. Spazi metrici compatti. Funzioni uniformemente continue. Metriche equivalenti. Connessione. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI: Funzioni di più variabili reali: limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità. Funzioni omogenee. Formula di Taylor. Estremi locali ed assoluti. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Integrali dipendenti da parametri. Derivate direzionali. CURVE E FORME DIFFERENZIALI: Curve in R^2 e in R^3. Curve regolari e regolari a tratti. Vettore e versore tangente ad una curva. Versore normale. Equazione polare e cartesiana di una curva piana. Curve rettificabili. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.  Forme differenziali lineari e loro integrale curvilineo. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse e loro integrabilità. Forme differenziali omogenee. INTEGRALI MULTIPLI: Integrabilità secondo Riemann per una funzione reale su un dominio normale del piano. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Domini regolari. Formule di Gauss-Green nel piano. Teoremi della divergenza e di Stokes nel piano. Formula di integrazione per parti e calcolo dell'area di un dominio regolare. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrale di Riemann per funzioni di tre variabili. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan in R^n e sull'integrale di Riemann in R^n. Integrale generalizzato. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE: Superfici in R^3. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti. Area di una superficie regolare. Superfici di rotazione. Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale. Operatori differenziali. Campi conservativi. Circuitazione di un campo vettoriale. Teoremi di Stokes e della divergenza. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Equazioni differenziali ordinarie (EDO) e problema di Cauchy. Teoremi di Peano e di Cauchy-Lipschitz per EDO di ordine uno e di ordine n. EDO lineari: teorema di esistenza e unicità. EDO lineari del primo ordine. Integrale generale di un'EDO lineare omogenea e non omogenea. EDO lineari a coefficienti costanti. Metodo di Lagrange. Risoluzione di alcuni tipi notevoli di EDO del primo ordine e di ordine superiore al primo.

Course Syllabus

SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS: Sequences of functions. Pointwise and uniform convergence. Theorems on uniform convergence. Series of functions: pointwise, uniform, absolute and total convergence. Theorems on uniform convergence. Power series. Radius and interval of convergence. Differentiation and integration of power series. Taylor series. Taylor series expansions for several important functions. METRIC SPACES: Metric spaces and their topology. Sequences and limits. Continuous functions. Complete metric spaces. Lipschitzian maps. Fixed points. The contractions theorem. Compact metric spaces. Uniformly continuous functions. Equivalent distances. Connectedness. DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES: Functions of several variables: limits and continuity. Derivatives, differentiation. Homogeneous functions. Taylor's formula. Local and absolute extrema. Implicit functions. Dini's theorem. Integrals depending from parameters. Directional derivatives. CURVES AND DIFFERENTIAL FORMS: Curves in R^2 and R^3. Regolar and generally regolar curves. Tangent vector and versor. Normal versor. Polar and Cartesian form. Rectifiable curves. Oriented curves. Curvilinear abscissa. Curvilinear integral of a real function. Differential forms and their curvilinear integral. Exact differential forms. Closed differential forms and their integrability. Homogeneous diffetential forms. MULTIPLE INTEGRALS: Riemann integral for functions of two variables on a normal domain. Integrability of continuous functions. Reduction formulas. Regular domains in the plain. Theorem of Gauss-Grenn. Theorems of divergence and Stokes in the plain. Integration by parts in the plain and calculus of the area of a regular domain. Change of variables in double integrals. Riemann integral for functions of three variables. Reduction formula and change of variables in triple integrals. Hints on Peano-Jordan measure and Riemann integral in R^n and generalized integrals. SURFACES AND SURFACE INTEGRALS: Surfaces in R^3. Regular surfaces. Tangent plane and normal versor. Equivalent surfaces. Area of a regular surface. Surfaces of rotation. Orientable surfaces. Surfaced with the edge. Surface integrals. Flow of vector fields. Differential operators. Conservative fields. Circulation of a vector field. Divergence and Stokes' theorems. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: Ordinary differential equations (ODE) and Cauchy problem. Theorems of Peano and Cauchy-Lipschitz for first order and higher order ODE. Linear ODE: theorem of existence and unicity. Linear ODE of first order. General solution of linear ODE (homogeneous and non-homogeneous). Linear ODE with constant coefficients. Lagrange's method. Solution of several important types of first order and higher order ODE.