Obiettivi Formativi

Il modulo si propone l'acquisizione dei fondamenti dell’Analisi reale, delle proprietà strutturali degli insiemi numerici e dei concetti di limite e della continuità delle funzioni, del calcolo differenziale ed integrale. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti: Elementi di topologia in R Insiemi numerici; Successioni e Serie Numeriche; Funzione di variabile reale e limiti; Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale; L’integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale; Equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula (36 ore) ed esercitazioni in aula con applicazioni a problemi tipici della fisica (36 ore) con uso di Lavagna, lavagna luminosa, proiettore per PC. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni in aula con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Esercitazioni svolte dal docente, esercitazioni di gruppo e simulazioni di prove d’esame.

Prerequisiti

I prerequisiti sono quelli richiesti dal CdL per l’accesso al corso di studio e verificati attraverso il test d’ingresso.

Verifiche dell'apprendimento

Tre test intermedi per verificare il livello di apprendimento degli studenti. Chi supera tutti i test può accedere direttamente all'orale. I test intermedi sono relativi agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti). Chi non ha superato tutti i test per accedere all'orale dovrà svolgere (e superare) un compito scritto (durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Corso di Laurea in Fisica) sugli argomenti relativi al test o ai test non superato/i. Il voto finale terrà conto, oltre che della prova orale, dei voti ottenuti nei test e nell'eventuale prova scritta. Il risultato dei tre test e del compito scritto superati sarà ritenuto valido per un anno accademico entro il quale occorrerà completare l’esame sostenendo la prova orale durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Corso di Laurea in Fisica. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Corso di Laurea in Fisica. La prova scritta e ogni test si ritengono superati se la valutazione complessiva non è inferiore a 18/30. Durante i test e le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare formulari. I test e la prova scritta prevedono lo svolgimento di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati.

Programma del Corso

-IL SISTEMA DEI NUMERI REALI. Proprietà elementari dei Numeri Reali. Assioma di Dedekind. Valore assoluto. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di Numeri Reali. La topologia della retta reale e teoremi relativi. Elementi di calcolo combinatorio. -IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI. Generalità sui Numeri Complessi. Potenze e radici di un numero complesso. Equazioni in campo complesso. -SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Definizioni. Limite di una successione. Teoremi fondamentali sui limiti. Operazioni con i limiti. Limiti di successioni monotone. Il numero e. Massimo e minimo limite. Successioni e topologia e teoremi relativi. Insiemi compatti. Serie numeriche. Criteri di convergenza per le serie numeriche. Cenni sulle successioni e serie complesse. -FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE E LIMITI. Generalità. Funzioni elementari: esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche. Limiti di funzioni reali. Teoremi fondamentali sui limiti. Limiti fondamentali. Operazioni con i limiti. Funzioni continue e teoremi relativi. Uniforme continuità e teoremi relativi. -CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE. Definizione di derivata e significato geometrico. Teoremi per il calcolo differenziale. Differenziale di una funzione. Derivate delle funzioni elementari. Operazioni con le derivate. Teoremi e applicazioni del calcolo differenziale per lo studio di una funzione. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e conseguenze. Teoremi di De Hopital e applicazioni. Formula di Taylor e applicazioni. Cenni sulla serie di Taylor. Funzioni concave e convesse. -L'INTEGRALE DI RIEMANN PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE. Integrali indefiniti. Regole di integrazione. Integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali riducibili ad integrali di funzioni razionali. L'integrale secondo Riemann. Condizione di integrabilità. Teoremi sulle funzioni integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale secondo Mengoli-Cauchy. Applicazioni degli integrali al calcolo di aree, lunghezze e volumi. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza per integrali generalizzati. -EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Generalità e definizioni. Integrazione di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e non normale. Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n ed in particolare a coefficienti costanti e loro integrazione. Integrazione di equazioni differenziali di Eulero.