Obiettivi Formativi

Conoscenza dei metodi della geometria combinatoria, con particolare riguardo alle geometrie su campi di Galois, alla teoria dei disegni e alla teoria dei codici.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercizi. Le attività saranno svolte con il supporto di slide ed eventualmente erogate in modalità blended e-learning.

Prerequisiti

Conoscenze di base di teoria dei gruppi, teoria dei campi e anelli di polinomi a coefficienti in un campo, algebra lineare e geometria analitica.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale che consiste in domande relative alle teorie presentate durante le lezioni ed è volto ad accertare il raggiungimento degli obiettivi del corso e la capacità di esporre gli argomenti mediante l’uso di un linguaggio appropriato.

Programma del Corso

Definizione di spazio geometrico. Isomorfismi tra spazi geometrici. Gruppo strutturale di uno spazio geometrico. Spazi geometrici composti. Spazi geometrici equivalenti. Spazi vettoriali su un campo K: applicazioni semilineari e isomorfismi geometrici tra spazi vettoriali. Spazi proiettivi: isomorfismi tra spazi proiettivi e loro caratterizzazione. Lo spazio proiettivo numerico di dimensione r su K, P(r, K). Gruppo delle collineazioni e gruppo delle proiettività di P(r, K). Costruzione dello spazio affine A(r, K) a partire da P(r, K). Gruppo delle collineazioni e gruppo delle affinità di A(r, K). Spazi di Galois: PG(r,q) e AG(r,q). Numero di punti di un sottospazio d-dimensionale di PG(r,q) (AG(r,q)); numero di sottospazi d-dimensionali di PG(r,q) (AG(r,q)); numero di sottospazi k-dimensionali di PG(r,q) (AG(r,q)) passanti per un fissato sottospazio h-dimensionale di PG(r,q) (rispettivamente, AG(r,q)). Disegni combinatori: definizioni e concetti base. Piani proiettivi e piani affini di ordine n. Contrazione ed estensione di un disegno. Condizioni necessarie per l’esistenza di un disegno. Matrice di incidenza di un disegno. Diseguaglianza di Fisher. Residuo di un disegno. Complementare di un disegno. Disegno duale. Composizione di disegni. Insiemi di differenze e famiglie di differenze. Teorema di Paley. Famiglie di differenze relative. Costruzione di disegni con il metodo delle differenze. Famiglie di differenze miste. Costruzione di Bose. Disegni simmetrici. Esistenza di un piano proiettivo di ordine n: teorema di Bruck-Ryser-Chowla e corollari. Quadrati latini e quasigruppi. Quadrati latini ortogonali. Sistemi completi di quadrati latini mutualmente ortogonali (MOLS). MOLS e piani finiti. Sistemi di Steiner. G-decomposizioni. Cenni di teoria dell'informazione. Definizioni e concetti di base. Codici perfetti. Codici sistematici. Codici lineari: matrici generatrice; codice duale; matrice di controllo; codifica e decodifica. Codici di Hamming. Codici di Golay. Codici BCH binari 2-correttori. Codici ciclici: polinomio generatore; matrice generatrice; polinomio di controllo e matrice di controllo; schemi di codifica. Codici BCH t-correttori: definizione e proprietà; codici di Reed-Solomon; polinomio locatore degli errori e decodifica. Codici di Reed-Muller: codici di Reed-Muller del primo ordine e decodifica; codici di Reed-Muller di ordine r; decodifica maggioritaria. Codici di Hadamard e disegni di Hadamard.