Obiettivi Formativi

Conoscenza dei metodi della geometria combinatoria, con particolare riguardo alle geometrie su campi di Galois, alla teoria dei disegni e alla teoria dei codici.

Learning Goals

Knowledge of the methods of combinatorial geometry, with particular reference to the geometries on Galois fields, to design theory and coding theory.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercizi. Le attività saranno svolte con il supporto di slide ed eventualmente erogate in modalità blended e-learning.

Teaching Methods

Lectures and classroom exercises. The activities will be carried out with the support of slides and, where necessary, provided in blended e-learning mode.

Prerequisiti

Conoscenze di base di teoria dei gruppi, teoria dei campi e anelli di polinomi a coefficienti in un campo, algebra lineare e geometria analitica.

Prerequisites

Basic knowledge of group theory, field theory and rings of polynomials with coefficients in a field, linear algebra and analytic geometry.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale che consiste in domande relative alle teorie presentate durante le lezioni ed è volto ad accertare il raggiungimento degli obiettivi del corso e la capacità di esporre gli argomenti mediante l’uso di un linguaggio appropriato.

Assessment

Oral exam consisting of questions on the theories presented during the lectures and aimed at assessing the achievement of the objectives of the course and the ability to present the topics with an appropriate language.

Programma del Corso

Definizione di spazio geometrico. Isomorfismi tra spazi geometrici. Gruppo strutturale di uno spazio geometrico. Spazi geometrici composti. Spazi geometrici equivalenti. Spazi vettoriali su un campo K: applicazioni semilineari e isomorfismi geometrici tra spazi vettoriali. Spazi proiettivi: isomorfismi tra spazi proiettivi e loro caratterizzazione. Lo spazio proiettivo numerico di dimensione r su K, P(r, K). Gruppo delle collineazioni e gruppo delle proiettività di P(r, K). Costruzione dello spazio affine A(r, K) a partire da P(r, K). Gruppo delle collineazioni e gruppo delle affinità di A(r, K). Spazi di Galois: PG(r,q) e AG(r,q). Numero di punti di un sottospazio d-dimensionale di PG(r,q) (AG(r,q)); numero di sottospazi d-dimensionali di PG(r,q) (AG(r,q)); numero di sottospazi k-dimensionali di PG(r,q) (AG(r,q)) passanti per un fissato sottospazio h-dimensionale di PG(r,q) (rispettivamente, AG(r,q)). Disegni combinatori: definizioni e concetti base. Piani proiettivi e piani affini di ordine n. Contrazione ed estensione di un disegno. Condizioni necessarie per l’esistenza di un disegno. Matrice di incidenza di un disegno. Diseguaglianza di Fisher. Residuo di un disegno. Complementare di un disegno. Disegno duale. Composizione di disegni. Insiemi di differenze e famiglie di differenze. Teorema di Paley. Famiglie di differenze relative. Costruzione di disegni con il metodo delle differenze. Famiglie di differenze miste. Costruzione di Bose. Disegni simmetrici. Esistenza di un piano proiettivo di ordine n: teorema di Bruck-Ryser-Chowla e corollari. Quadrati latini e quasigruppi. Quadrati latini ortogonali. Sistemi completi di quadrati latini mutualmente ortogonali (MOLS). MOLS e piani finiti. Sistemi di Steiner. G-decomposizioni. Cenni di teoria dell'informazione. Definizioni e concetti di base. Codici perfetti. Codici sistematici. Codici lineari: matrici generatrice; codice duale; matrice di controllo; codifica e decodifica. Codici di Hamming. Codici di Golay. Codici BCH binari 2-correttori. Codici ciclici: polinomio generatore; matrice generatrice; polinomio di controllo e matrice di controllo; schemi di codifica. Codici BCH t-correttori: definizione e proprietà; codici di Reed-Solomon; polinomio locatore degli errori e decodifica. Codici di Reed-Muller: codici di Reed-Muller del primo ordine e decodifica; codici di Reed-Muller di ordine r; decodifica maggioritaria. Codici di Hadamard e disegni di Hadamard.

Course Syllabus

Definition of geometric space. Isomorphisms between geometric spaces. Structural group of a geometric space. Compound geometric spaces. Equivalent geometric spaces. Vector spaces over a field K: semilinear maps and geometric isomorphisms between vector spaces. Projective spaces: isomorphisms between projective spaces and their characterization. The r-dimensional coordinate projective space over K, P(r, K). Collineation group and projectivity group of P(r, K). Construction of the affine space A(r, K) from P(r, K). Collineation group and affinity group of A(r, K). Galois spaces: PG(r,q) e AG(r,q). Number of points of a d-dimensional subspace of PG(r,q) (AG(r,q)); number of d-dimensional subspaces of PG(r,q) (AG(r,q)); number of k-dimensional subspaces of PG(r,q) (AG(r,q)) containing a fixed h-dimensional subspace of PG(r,q) (respectively, AG(r,q)). Combinatorial designs: definitions and basic concepts. Projective and affine planes of order n. Contraction and extension of a design. Necessary conditions for the existence of a design. Incidence matrix of a design. Fisher inequality. Residual design. Complementary design. Dual design. Composition of designs. Difference sets and difference families. Paley Theorem. Relative difference families. Construction of designs by difference method. Mixed difference families. Bose construction. Symmetric designs. Existence of a projective plane of order n: Bruck-Ryser-Chowla theorems and corollaries. Latin squares and quasigroups. Orthogonal latin squares. Complete sets of mutually orthogonal latin square (MOLS). MOLS and finite planes. Steiner systems. G-decompositions. Elements of information theory. Definitions and basic concepts. Perfect codes. Systematic codes. Linear codes: generator matrix: dual code; check matrix; encoding and decoding. Hamming codes. Golay codes. 2-error-correcting binary BCH codes. Cyclic codes: generator polynomial; generator matrix; check polynomial and check matrix. t-error-correcting BCH codes: definition and properties; Reed-Solomon codes; error-locator polynomial and decoding. Reed-Muller codes: definition of first order Reed-Muller code, properties and decoding; definition and properties of rth order Reed-Muller codes; majority logic decoding. Hadamard codes and Hadamard designs.