Obiettivi Formativi

Conoscenza dei principali metodi e risultati della Geometria Differenziale (curve, superfici, varietà differenziabili, spazio tangente, fibrati vettoriali, connessioni).

Metodi didattici

Lezioni frontali, anche tramite ausili informatici, con svolgimento di numerosi esempi ed esercizi di supporto. Le lezioni potranno eventualmente essere erogate anche in modalità blended e-learning.

Prerequisiti

Conoscenze dei corsi di algebra, geometria e analisi matematica di un corso di laurea di primo livello in Matematica.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consiste in una interrogazione orale. Saranno somministrati test e svolta una prova intermedia scritta per valutare il livello di partecipazione e l’apprendimento graduale degli argomenti. Al termine del corso si prevede una verifica sulla preparazione raggiunta con lo svolgimento di una tesina scritta.

Programma del Corso

Varietà differenziabili. Carte locali, omeomorfismi, funzioni di transizione, atlanti, dimensione di una varietà, funzioni su una varietà di classe C^r in un punto di essa, varietà di classe C^infinito, esempi di varietà (sfera), prodotto di varietà (toro), strutture differenziabili. Funzioni differenziabili tra varietà, diffeomorfismi, diffeomorfismi locali, rivestimenti (universali), gruppi di Lie ed esempi. Spazi tangente. Vettori tangenti in un punto di una varietà, derivazioni centrate nel punto, anello dei germi delle funzioni di classe C^infinito nel punto, derivazioni e spazio tangente a una varietà, derivazioni e carte locali, differenziale di una funzione tra varietà, proprietà del differenziale,  spazio tangente a una varietà e varietà stessa sono equidimensionali, espressione del differenziale in coordinate locali, teoremi della funzione inversa e della funzione implicita per varietà. Immersioni, sommersioni, embedding, sottovarietà e sottovarietà immerse, punti critici, insiemi di livello. Campi e fibrati vettoriali. Fibrato tangente di una varietà e sua struttura, fibrato vettoriale di rango r, operazioni sui fibrati vettoriali, il fibrato cotangente come duale del fibrato tangente, prodotto tensoriale di spazi vettoriali, tensori (controvarianti e covarianti), contrazioni, fibrati tensoriali, algebra simmetrica ed esterna, sezioni di un fibrato vettoriale: campi vettoriali e campi tensoriali, forme differenziali. Partizioni dell’unità. Campi vettoriali e derivazioni, campi vettoriali ed equazioni differenziali, flusso locale di un campo vettoriale. Parentesi e derivata di Lie, distribuzioni involutive, (completamente) integrabili, teorema di Fröbenius, foliazioni, derivata di Lie di un campo tensoriale. Connessioni. Connessioni su fibrati vettoriali, derivata covariante, proprietà delle connessioni, espressione di una connessione in coordinate locali, sezione estendibile e parallela, trasporto parallelo, connessioni e forme differenziali, connessioni lineari, connessione indotta sui fibrati tensoriali, derivata covariante totale, hessiano e divergenza per varietà, curvatura di una connessione. Varietà (pseudo)-riemanniane. Metriche su una varietà, segnatura, ogni varietà differenziabile ammette una metrica riemanniana, connessione di Levi-Civita, isometrie, traccia di una forma bilineare, laplaciano di una funzione, geodetiche, tensore di curvatura, sua invarianza per isometrie, sue proprietà, tensore di Ricci, cenni di Relatività Generale, equazioni di Einstein, la soluzione di Schwarzschild, esempi e applicazioni pratiche: forze di marea, dilatazione del tempo. L'algebra esterna. Forme differenziali e pull-back, proprietà del pull-back di r-forme, differenziale esterno e sue proprietà, forme chiuse e forme esatte, coomologia di de Rham. Integrazione di forme differenziali. Orientamento di uno spazio vettoriale, orientazione di una varietà differenziabile, varietà orientabili e varietà non orientabili, esempi, forme di volume e orientabilità, integrale di una n-forma su una n-varietà orientabile, n-carte (di bordo o interne) compatibili, varietà con bordo, orientazione di una varietà con bordo e orientazione indotta sul bordo, integrazione sulle varietà con bordo: il teorema di Stokes, conseguenze ed esempi, orientazione di ipersuperfici, orientazione del bordo di una varietà, applicazioni.