Programma del Corso
Varietà differenziabili. Carte locali, omeomorfismi, funzioni di transizione, atlanti, dimensione di una varietà, funzioni su una varietà di classe C^r in un punto di essa, varietà di classe C^infinito, esempi di varietà (sfera), prodotto di varietà (toro), strutture differenziabili. Funzioni differenziabili tra varietà, diffeomorfismi, diffeomorfismi locali, rivestimenti (universali), gruppi di Lie ed esempi.
Spazi tangente. Vettori tangenti in un punto di una varietà, derivazioni centrate nel punto, anello dei germi delle funzioni di classe C^infinito nel punto, derivazioni e spazio tangente a una varietà, derivazioni e carte locali, differenziale di una funzione tra varietà, proprietà del differenziale, spazio tangente a una varietà e varietà stessa sono equidimensionali, espressione del differenziale in coordinate locali, teoremi della funzione inversa e della funzione implicita per varietà. Immersioni, sommersioni, embedding, sottovarietà e sottovarietà immerse, punti critici, insiemi di livello.
Campi e fibrati vettoriali. Fibrato tangente di una varietà e sua struttura, fibrato vettoriale di rango r, operazioni sui fibrati vettoriali, il fibrato cotangente come duale del fibrato tangente, prodotto tensoriale di spazi vettoriali, tensori (controvarianti e covarianti), contrazioni, fibrati tensoriali, algebra simmetrica ed esterna, sezioni di un fibrato vettoriale: campi vettoriali e campi tensoriali, forme differenziali. Partizioni dell’unità. Campi vettoriali e derivazioni, campi vettoriali ed equazioni differenziali, flusso locale di un campo vettoriale. Parentesi e derivata di Lie, distribuzioni involutive, (completamente) integrabili, teorema di Fröbenius, foliazioni, derivata di Lie di un campo tensoriale.
Connessioni. Connessioni su fibrati vettoriali, derivata covariante, proprietà delle connessioni, espressione di una connessione in coordinate locali, sezione estendibile e parallela, trasporto parallelo, connessioni e forme differenziali, connessioni lineari, connessione indotta sui fibrati tensoriali, derivata covariante totale, hessiano e divergenza per varietà, curvatura di una connessione.
Varietà (pseudo)-riemanniane. Metriche su una varietà, segnatura, ogni varietà differenziabile ammette una metrica riemanniana, connessione di Levi-Civita, isometrie, traccia di una forma bilineare, laplaciano di una funzione, geodetiche, tensore di curvatura, sua invarianza per isometrie, sue proprietà, tensore di Ricci, cenni di Relatività Generale, equazioni di Einstein, la soluzione di Schwarzschild, esempi e applicazioni pratiche: forze di marea, dilatazione del tempo.
L'algebra esterna. Forme differenziali e pull-back, proprietà del pull-back di r-forme, differenziale esterno e sue proprietà, forme chiuse e forme esatte, coomologia di de Rham.
Integrazione di forme differenziali. Orientamento di uno spazio vettoriale, orientazione di una varietà differenziabile, varietà orientabili e varietà non orientabili, esempi, forme di volume e orientabilità, integrale di una n-forma su una n-varietà orientabile, n-carte (di bordo o interne) compatibili, varietà con bordo, orientazione di una varietà con bordo e orientazione indotta sul bordo, integrazione sulle varietà con bordo: il teorema di Stokes, conseguenze ed esempi, orientazione di ipersuperfici, orientazione del bordo di una varietà, applicazioni.
Course Syllabus
Differentiable manifolds. Local charts, homeomorphisms, transition functions, atlants, dimension of a manifold, functions on a C^r-class manifold at one point of it, C^infinity-class manifolds, examples of manifolds (sphere), manifold product (torus), differentiable structures. Differentiable functions between manifolds, diffeomorphisms, local diffeomorphisms, (universal) coverings, Lie groups and examples.
Tangent spaces. Tangent vectors at one point of a manifold, derivations centered at the point, ring of germs of C^infinity-class functions at the point, derivations and tangent space to a manifold, derivations and local charts, differential of a function between manifolds, properties of the differential, tangent space at a manifold and manifold itself are equidimensional, formulation of the differential in local coordinates, theorems of the inverse function and implicit function with regard to manifolds. Immersions, submersions, embeddings, submanifolds and embedded submanifolds, critical points, level sets.
Field and vector bundles. Tangent bundle of a manifold and its structure, vector bundle of rank r, operations on vector bundles, the cotangent bundle as the dual of the tangent bundle, tensor product of vector spaces, (countervariants and covariants) tensors, contractions, tensor bundles, symmetric and exterior algebra, sections of a vector bundle: vector fields and tensor fields, differential forms. Partitions of the unit. Vector fields and derivations, vector fields and differential equations, local flow of a vector field. Lie parenthesis and Lie derivative, involutional distributions, (fully) integrable distributions, Fröbenius theorem, foliations, Lie derivative of a tensor field.
Connections. Connections on vector bundles, covariant derivative, properties of the connections, expression of a connection in local coordinates, extendable and parallel section, parallel transport, connections and differential forms, linear connections, induced connection on tensor bundles, total covariant derivative, hessian and divergence with regard to manifolds, curvature of a connection.
(Pseudo)-Riemannian manifolds. Metrics on a manifold, marking, each differentiable manifold admits a Riemannian metric, Levi-Civita connection, isometries, trace of a bilinear form, Laplacian of a function, geodesics, curvature tensor, invariance for isometries of it, properties of it, Ricci tensor, basics of General Relativity, Einstein equations, Schwarzschild solution, examples and practices: tidal forces, time dilatation.
Exterior algebra. Differential forms and pull-back, properties of the pull-back of r-forms, exterior differential and properties of it, closed forms and exact forms, de Rham's cohomology.
Integration of differential forms. Orientation of a vector space, orientation of a differentiable manifold, orientable and non-orientable manifolds, examples, volume forms and orientation, integral of an n-form on a orientable n-manifold, compatible (edge or interior) n-charts, manifolds with an edge, orientation of a manifold with an edge and induced orientation on the edge, integration on manifolds with an edge: Stokes theorem, consequences and examples, orientation of hypersurfaces, orientation of the edge of a manifold, applications.
