Obiettivi Formativi

L’obbiettivo del corso è quello di presentare i fondamenti dell’algebra commutativa e alcuni recenti algoritmi per il calcolo di invarianti algebrici, con particolare enfasi alle basi di Groebner. Si analizzeranno algebre legate ad oggetti combinatorici e varietà affini di punti. Al termine del corso lo studente sarà in grado di calcolare alcuni importanti invarianti dell’Algebra Commutativa. Saprà risolvere sistemi di equazioni polinomiali con insiemi finiti di soluzione. Saprà inoltre identificare a priori se un tale sistema ha soluzione. Ed infine conoscerà metodi ed algoritmi per il calcolo di particolari invarianti di strutture combinatorie strettamente connesse agli invarianti delle algebre ad esse associate.

Metodi didattici

Lezioni teoriche e applicative. Utilizzo di software di calcolo simbolico.

Prerequisiti

Contenuti dei corsi istituzionali di Algebra di un Corso di Laurea della Classe L-35, in particolare le nozioni fondamentali della teoria degli anelli. 

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consiste di uno dei due metodi alternativi: 1) Esame orale; 2) Valutazioni in itinere più seminario finale. 1) Esame orale. L’esame orale prevede esercizi e domande teoriche su argomenti presentati durante il corso. La prova orale si intende superata se si raggiungono almeno 18/30. 2) Valutazioni in itinere più seminario finale. Le valutazioni in itinere settimanali (una per settimana e di circa 45 minuiti) prevedono esercizi e/o domande teoriche sugli argomenti appena trattati. Per la risoluzione si possono consultare gli appunti delle lezioni. Grazie alle valutazioni in itinere si potranno ottenere al massimo 28/30. Tale punteggio si otterrà dalla somma delle singole valutazioni in itinere. A tale punteggio si aggiunge quello del seminario finale che verrà valutato al massimo 2/30. Il seminario finale è scelto dallo studente in accordo col docente su tematiche trattate durante il corso. L’esame si intende superato se lo studente consegue tra prove in itinere e seminario un voto di almeno 18/30.

Programma del Corso

Operazioni tra ideali monomiali e ideali di punti. Anello dei polinomi su un campo. Ideali iniziali. Basi di Groebner. Il problema dell’appartenenza ad un ideale. Teoria della eliminazione e applicazioni. Varietà affini. Relazioni con gli ideali. Risultante. Teorema di estensione. Nullstellensatz in forma debole e forte. Serie formali. Moduli graduati. Successioni esatte corte. La serie di Hilbert. Lemma di Macaulay ed ideali iniziali. Un algoritmo per il calcolo della serie di Hilbert. Lemma di Nakayama graduato. Risoluzione libera finita graduata e numeri di Betti graduati. Invarianti associati ai numeri di Betti: dimensione proiettiva, regolarità di Castelnuovo-Mumford e profondità.