Obiettivi Formativi

Acquisizione di metodologie avanzate per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali che descrivono fenomeni reali in contesti applicativi di tipo interdisciplinare.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale di funzioni in una e più variabili. Algebra lineare.

Verifiche dell'apprendimento

Al fine di verificare il livello di preparazione raggiunto l'esame consiste in una prova orale integrata dalla discussione di un lavoro scientifico inerente agli argomenti sviluppati durante il corso.

Programma del Corso

INTRODUZIONE ALLA TEORIA QUALITATIVA DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Considerazioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie. Risultati generali. Il teorema di esistenza e unicità e il problema ai dati iniziali. Sistemi non lineari. Spazio delle fasi. Equilibrio e stabilità. Criterio di stabilità lineare. Stabilità non lineare e teoremi di Lyapunov. Diagrammi di biforcazione. Biforcazione a forchetta, supercritica e subcritica. Esempi e applicazioni. PROCESSI EVOLUTIVI RETTI DA PDE. Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali. Leggi di conservazione. Leggi costitutive. Equazioni notevoli: corde vibranti, avvezione, diffusione. Derivazione e proprietà della soluzione dell’equazione della diffusione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni. Equazioni di reazione-diffusione. Analisi qualitativa. Travelling waves per equazioni singole e sistemi di equazioni alle derivate parziali. Instabilità di Touring e formazione di pattern. Equazione di Fisher: condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di travelling waves, stabilità. Studio delle travelling waves nella diffusione spaziale di alcune malattie infettive.