Obiettivi Formativi

Conoscenza della teoria delle funzioni cardinali in topologia generale. Costruzione del gruppo fondamentale in topologia algebrica con calcolo dello stesso in alcuni casi notevoli ed applicazioni. Introduzione alla topologia differenziale.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula con eventuale assegnazione di seminari che gli studenti dovranno presentare sulla base di opportuno materiale fornito dal docente.

Prerequisiti

Conoscenze di base della topologia generale e familiarità con la logica matematica elementare.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame orale è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi, ovvero il livello di conoscenza degli argomenti teorici e la capacità di impostare e risolvere problemi topologici.

Programma del Corso

1. Numeri ordinali e numeri cardinali. La teoria assiamatica di Zermelo-Fraenkel.  Il cardinale ω_1. Ipotesi del continuo ed ipotesi generalizzata del continuo. Cofinalità. Teorema di Koenig. Spazi topologici linearmente ordinati. Spazi numerabilmente compatti e pseudo compatti; loro equivalenza nella classe degli spazi normali. Esempio di spazio di Tychonoff pseudo compatto non numerabilmente compatto. Spazi localmente compatti. Lo spazio topologico ω_1+1 2. Funzioni cardinali globali: peso, peso di rete, numero di Lindelof, estensione e diffusione, numero di Lindelof ereditario,  Disuguaglianze cardinali. Lemma di Jones. Teorema di Hewitt-Marczewski-Pondiczery. Disuguaglianza di Arhangel’skii. Cardinalità di uno spazio compatto, di Hausdorff, primo numerabile. Generalizzazioni della disuguaglianza di Arhangel’skii. 3. Introduzione intuitiva alla Topologia Algebrica. Omotopia.  Il gruppo fondamentale. Spazi semplicemente connessi.  L'insieme di Cantor e la curva di Peano. Calcolo del gruppo fondamentale della sfera. Il gruppo fondamentale della circonferenza è il gruppo additivo degli interi. Un'applicazione: Il teorema del punto fisso di Brower in dimensione 1 e 2. Il gruppo fondamentale del piano proiettivo è il gruppo ciclico di ordine 2. Il teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 2. Il teorema di Borsuk-Ulam in dimenzione 1. Il teorema fondamentale dell’algebra. 4. Elementi di Topologia Differenziale. Varietà topologiche. Strutture differenziabili. Funzioni differenziabili. Teorema della partizione dell'unità. Spazio tangente e spazio cotangente. Il fibrato tangente, il fibrato cotangente .