Obiettivi Formativi

Fare acquisire agli studenti un’adeguata conoscenza e comprensione di alcuni elementi di base dell’Analisi Matematica relativi alle funzioni di una variabile che risultano fondamentali per le scienze ingegneristiche e per le loro realtà applicative fare sviluppare la capacità di applicare in maniera autonoma le nozioni teoriche per impostare, analizzare e risolvere problemi anche complessi fare ottenere autonomia di giudizio al fine di utilizzare, in modo critico, gli strumenti di calcolo studiati, come ad esempio, il calcolo differenziale e il calcolo integrale, i numeri complessi oltreché le successioni e le serie numeriche far acquisire un’appropriata abilità di comunicazione attraverso l’uso di un linguaggio scientifico rigoroso, al fine di sostenere argomentazioni teoriche su temi applicativi far sviluppare le abilità di apprendimento necessarie sia per affrontare gli studi successivi per l’inserimento, in futuro, in diversi contesti lavorativi, possedendo un alto grado di autonomia ed un bagaglio culturale tale che gli consenta di avere le capacità di adattarsi e aggiornarsi continuamente

Learning Goals

To allow students to acquire adequate knowledge and understanding of some basic elements of the Mathematical Analysis relating to the functions of one variable that are fundamental for the engineering sciences and for their application realities.; to develop the ability to independently apply theoretical notions to set up, analyze and solve even complex problems; to obtain independent judgment in order to critically use the calculation tools studied, such as, for example, differential and integral calculations, complex numbers as well as sequences and numerical series; to acquire an appropriate communication skill through the use of rigorous scientific language, in order to support theoretical arguments on application themes; to develop the learning skills necessary both to face the subsequent studies and to fit, in the future, in different working contexts, possessing a high degree of autonomy and a cultural background that allows him to have the ability to adapt and update continuously

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons, guided exercises with teacher support, and exam simulations with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori

Prerequisites

Basic preparation provided by high school

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di tre esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale. Durante lo svolgimento del corso, sono previste due prove scritte in itinere. Lo studente che supera le prove in itinere è esonerato dalla prova scritta e può direttamente sostenere la prova orale. Le prove in itinere sono relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti). La prima prova in itinere prevede lo svolgimento di esercizi sui seguenti argomenti: disequazioni numeriche, successioni numeriche, determinazione del domino di funzioni reali in una variabile reale, numeri complessi, serie numeriche. La seconda prova in itinere verte sullo studio di funzione e la risoluzione di integrali indefiniti e definiti. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. La prova scritta è superata se la media delle due prove di verifica è pari o maggiore a 15/30. Durante le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare il libro di testo. Maggiori dettagli sulle modalità di svolgimento delle prove di esame sono reperibili alla pagina Moodle del corso.

Assessment

The exam consists of a written test followed by an oral test. During the written test, students are asked to perform the complete development of three exercises. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is two hours. The evaluation of the written test is scored out of thirty. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 15/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course (definitions, relevant examples, theorems, proofs, applications, links between the various topics.). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and during the oral exam. During the course, there are two ongoing written tests. Students who pass the ongoing tests are exempt from the final written exam and can directly take the oral exam. The ongoing tests are related to the topics covered during the course and are held respectively in the periods of November and January (on dates that are agreed during the lessons with the students). The first ongoing test involves exercises on the following topics: numerical inequalities, numerical sequences, determination of the domain of real functions in a real variable, complex numbers, numerical series. The second ongoing test concerns the study of a real function and the resolution of indefinite and definite integrals. A score out of thirty is assigned to each test. The written test is passed if the average of the two tests is equal to, or greater than, 15/30. During the written exams, it is permitted to use a calculator and to consult the textbook. More details on the exams and past papers can be found on the Moodle page of the course.

Programma del Corso

-INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI: Numeri reali, assioma di completezza, funzioni, dominio e codominio di una funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biettiva, funzioni composte, funzione inversa, topologia della retta reale, funzioni monotone, funzioni limitate, grafico di funzioni elementari. -NUMERI COMPLESSI: Definizione di numero complesso, Rappresentazione algebrica e trigonometrica, Potenza di un numero complesso, Radice n-sima di un numero complesso , Risoluzione di equazioni in campo complesso. -SUCCESSIONI NUMERICHE, successioni monotone limiti di successione, teorema di unicità del limite, algebra dei limiti, teorema del confronto, teorema sulle successioni monotone, successioni estratte, teorema di Bolzano-Weierstrass. -SERIE NUMERICHE Carattere di una serie, Serie geometrica, Serie di Mengoli, Serie armonica, Serie armonica generalizzata, Condizione necessaria per la convergenza, Serie a termini non negativi, Criterio del confronto, del rapporto, della radice, Serie a termini di segno alterno, Criterio di Leibniz , Serie assolutamente convergenti. -LIMITI DI FUNZIONE: Limiti notevoli, Gerarchia degli infiniti, confronto fra infiniti, principio di sostituzione degli infiniti, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, algebra dei limiti, tecniche per il calcolo dei limiti. -FUNZIONI CONTINUE: algebra della continuità, teorema di continuità delle funzioni composte, punti di discontinuità, teorema dell'esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema su funzioni inverse. -CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI A VALORI REALI, derivata, retta tangente, algebra delle derivate, teorema derivabilità continuità, punti di non derivabilità, teorema di derivazione delle funzioni composta, teorema di derivazione delle funzioni inverse, definizione di punto critico, massimi e minimi relativi , teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, conseguenze al teorema di Lagrange, studio di funzione, teorema di Cauchy, teorema di De L’Hopital , funzioni concave e convesse, derivate successive. -CALCOLO INTEGRALE: primitiva di una funzione, integrale indefinito, integrali elementari, tecniche di integrazione, integrazione di funzioni composte, integrazione per parti, integrale secondo Riemann, proprietà dell'integrale, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale, Calcolo di aree, Integrali impropri, Criteri di convergenza.

Course Syllabus

-NUMERICAL SETS AND FUNCTIONS: real numbers, axiom of completeness, functions, domain and codomain, injective, surjective and bjective function, composition of functions, inverse function, topology of the real line, monotone functions , bounded functions, elementary functions. -COMPLEX NUMBERS: Definition of complex number, algebraic and trigonometric representation, power of a complex number, N-th roots of a complex number, Roots of an algebraic equation, SEQUENCES, monotone sequences, limits, uniqueness, comparison theorem, theorem on monotone sequences, extracted sequences or sub-sequences-BolzanoWeierstrass theorem. -SERIES, Character of a series, Geometric series, Series of MENGOLI, Harmonic series, Generalized harmonic series, necessary condition for the convergence, Series with nonnegative terms, Criterion of comparison, Series with terms of alternate sign, Leibniz criterion , Absolutely convergent series. - LIMITS OF FUNCTIONS, hierarchy of infinitives , comparison between infinitives, principle of substitution of the infinite , theoremof permanence of the sign, algebra of the limits, Continuous functions, continuity algebra, continuity theorem of composite functions, theorem of the existence of zeros, Weierstrass principle, intermediate value theorem, inverse theorem . -DIFFERENTIATION OF A FUNCTION, definition of derivative, tangent line, algebra of derivatives, derivabilityand continuity , non-derivability points, derivation formulas - critical points, local maxima and minima, Fermat theorem, Rolle theorem, Lagrange theorem, consequences for Lagrange theorem, Cauchy theorem, graph of functions - De l'hopital theorem, derivative of order n, concave and convex functions. -RIEMANN INTEGRAL: primitive of a function, indefinite integrale, elementary integrals, integration techniques, integration of composite, integral by parts, fundamental theorem of integral calculus, Calculation of areas, generalized integrals , Convergence criteria.