Obiettivi Formativi

Fare acquisire le competenze minime relative ai principi fondamentali della Matematica di base attraverso vari teoremi con particolare riferimento alla struttura dei numeri reali, alle funzioni reali di variabile reale. Fornire le conoscenze per l’applicazione degli strumenti della matematica alla Statistica e Probabilità. Fare acquisire un approccio metodologico corretto per l'apprendimento delle discipline scientifiche, basato sull'uso del linguaggio e del ragionamento matematico come strumento per l'interpretazione e la rappresentazione grafica dei fenomeni

Learning Goals

Provide the minimum skills related to the fundamental principles of basic mathematics through various theorems with particular reference to the structure of real numbers, the real functions of a real variable. Provide knowledge for the application of mathematics tools to Statistics and Probability and for the acquisition of a correct methodological approach for learning scientific disciplines, based on the use of language and mathematical reasoning as a tool for the interpretation and graphic representation of phenomena.

Metodi didattici

Il corso comprende lezioni teoriche accompagnate da esercizi alla lavagna eseguiti dall'insegnante e dagli studenti su tutti gli argomenti.

Teaching Methods

The course includes theoretical lessons accompanied by blackboard exercises performed by the teacher and students on all topics.

Prerequisiti

Conoscenza e padronanza degli strumenti di base della Logica e dei seguenti elementi di Matematica: Calcolo algebrico elementare, fondamenti di geometria analitica e di trigonometria

Prerequisites

Knowledge and mastery of the basic tools of Logic and of the following elements of Mathematics: Elementary algebraic calculus, foundations of analytical geometry and trigonometry

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto per verificare la capacità di applicare gli strumenti forniti dalla teoria alla la risoluzione di problemi numerici concreti. Esame orale per verificare la conoscenza delle definizioni e dei risultati di base della teoria.

Assessment

Written exam to verify the ability to apply the tools provided by theory to solving concrete numerical problems. Oral exam to verify the knowledge of the definitions and the basic results of the theory.

Programma del Corso

ELEMENTI DI BASE &1. Elementi di teoria degli insiemi. Simbolismo e diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme di un insieme. Insieme delle parti. Operazioni fra insiemi: unione, intersezione, differenza e differenza simmetrica. Insieme complementare. & 2. Relazioni fra insiemi. Prodotto cartesiano fra insiemi. Grafo di una relazione. Relazioni inverse. & 3. Funzioni. Applicazione o funzione. Grafo di una funzione: dominio e codominio. Funzioni iniettive, surgettive e biunivoche. Funzione composta e sue proprietà. Funzione inversa. & 4. Il campo dei numeri reali. Assiomi dei numeri reali. Sottoinsiemi limitati di R. Retta reale estesa. Intervalli. Punto interno ad un insieme. Punto isolato di un insieme. Punto di accumulazione di un insieme. Numeri naturali. Numeri interi. Numeri razionali. Numeri irrazionali. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE & 1. Funzioni reali di variabile reale. Concetto di funzione reale di variabile reale. Massimo e minimo di una funzione. Funzioni monotòne. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzione esponenziale; funzione logaritmica; funzioni trigonometriche e loro inverse. Ricerca del dominio di funzioni reali. & 2. Limiti di funzioni. Definizione di limite. Vari casi di definizione di limite. Teoremi fondamentali sui limiti di funzioni: unicità del limite, della permanenza del segno, di limitatezza locale, I e II teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti laterali. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. & 3. Funzioni continue. La nozione di continuità per le funzioni reali di variabile reale. Proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass (solo enunciato). Teorema di continuità delle funzioni composte. Teorema di continuità delle funzioni inverse (solo enunciato). Punti di discontinuità di una funzione e loro classificazione. Calcolo di alcuni limiti fondamentali. & 4. Derivate delle funzioni reali di variabile reale. Definizione di derivata. Significato geometrico e significato meccanico di derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Regola di derivazione delle funzioni composte e sue applicazioni. Regola di derivazione delle funzioni inverse e sue applicazioni. Derivate di ordine superiore. &5. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Punti di massimo e di minimo relativo. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (o del valor medio) e sue conseguenze. Funzioni crescenti e decrescenti. Teoremi di L’Hopital. Analisi dei punti stazionari. Convessità e concavità di una funzione in un punto. Punti di flesso. Asintoti. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. &7. Integrali delle funzioni reali di variabile reale. Funzioni primitive. Integrale indefinito. Ricerca delle primitive di una funzione : integrazione per decomposizione in somma; integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Integrale definito (secondo Riemann). Teoremi del calcolo integrale : Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli). Calcolo di aree. &8 . Equazioni differenziali del I ordine. Forma normale e non normale di un’equazione differenziale . Integrazione diretta. Separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Problema di Cauchy. Statistica descrittiva Algebra delle matrici

Course Syllabus

BASIC ELEMENTS & 1. Elements of set theory. Symbolism and Euler-Venn diagrams. Subset of a set. Set of parts. Operations between sets: union, intersection, difference and symmetric difference. Complementary set. & 2. Relationships between sets. Cartesian product between sets. Graph of a relationship. Inverse relationships. & 3. Functions. Application or function. Graph of a function: domain and codomain. Injective, frozen and biunivocal functions. Compound function and its properties. Inverse function. & 4. The field of real numbers. Axioms of real numbers. Limited subsets of R. Extended real line. Intervals. Internal point of a whole. Isolated point of a set. Collection point of a set. Natural numbers. Whole numbers. Rational numbers. Irrational numbers. REAL FUNCTIONS OF REAL VARIABLE & 1. Real functions of a real variable. Real function concept of real variable. Maximum and minimum of a function. Monotone functions. Inverse functions. Elementary functions: exponential function; logarithmic function; trigonometric functions and their inverse. Domain search for real functions. & 2. Limits of functions. Definition of limit. Various cases of definition of limit. Fundamental theorems on the limits of functions: uniqueness of the limit, of the permanence of the sign, of local boundedness, I and II the comparison theorem. Boundary operations. Indeterminate forms. Lateral limits. Infinitesimals and infinites and their comparison. & 3. Continuous functions. The notion of continuity for real functions of real variable. Properties of continuous functions. Weierstrass theorem (statement only). Continuity theorem of compound functions. Inverse function continuity theorem (statement only). Discontinuity points of a function and their classification. Calculation of some fundamental limits. & 4. Derivatives of real functions of real variable. Definition of derivative. Geometric meaning and mechanical meaning of derivative. Derivatives of elementary functions. Differentiation rules. Derivation rule of compound functions and its applications. Derivation rule of inverse functions and its applications. Higher order derivatives. & 5. Fundamental theorems of differential calculus. Points of maximum and relative minimum. Fermat's theorem. Rolle's theorem. Lagrange's (or average value) theorem and its consequences. Increasing and decreasing functions. L’Hopital theorems. Stationary point analysis. Convexity and concavity of a function in one point. Inflection points. Asymptotes. Study of the graph of a real function of a real variable. & 7. Integrals of real functions of real variable. Primitive functions. Indefinite integral. Search for the primitives of a function: integration by decomposition in sum; integration by parts; integration by replacement. Definite integral (according to Riemann). Integral calculus theorems: Average theorem. Fundamental theorem of integral calculus (or Torricelli). Calculation of areas. & 8. Differential equations of the first order. Normal and non-normal form of a differential equation. Direct integration. Separation of variables. Homogeneous and non-homogeneous linear differential equations. Cauchy problem. DESCRIPTIVE STATISTICS. ALGEBRA OF MATRICES