Obiettivi Formativi

Fornire la conoscenza del calcolo differenziale per funzioni reali ad una e più variabili; metodi per l’integrazione di funzioni ad una variabile e per funzioni scalari e vettoriali di più variabili reali. Nozioni che sono alla base dell'Informatica Teorica, strumenti  necessari alla comprensione e alla formalizzazione degli insegnamenti avanzati degli anni successivi.

Learning Goals

The course must provide knowledge of differential calculation for functions of real variables. Methods for the integration functions of real variables, differential calculation for the scalar and vector functions of multiple real variables. Multiple integration. Function series. Concepts that are fundamental to theoretical computing, tools needed to understand and formalize of the advanced teachings of subsequent years.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni teoriche frontali ed esercitazioni. Le lezioni si svolgono in aula su lavagna (classica o multimediale). Si prevedono sia esercitazioni svolte dal docente che guidate svolte dagli studenti.

Teaching Methods

Lectures and exercises in the classroom. Lectures are held in the classroom and the exhibition takes place through (classical or multimedia) boards. There are also exercises carried out by the teacher and guided exercises carried out by students with teacher support.

Prerequisiti

Nozioni di matematica di base, dalla logica all’analisi. Conoscenza dei concetti fondamentali nel campo dei numeri reali, del calcolo algebrico e della geometria euclidea.

Prerequisites

Basic mathematics concepts, ranging from logic to analysis. knowledge of the basic concepts in the field of real numbers, the algebraic calculation of Euclidean geometry.

Verifiche dell'apprendimento

Per ciascuno dei due moduli di cui si compone l'intero corso, la modalità di verifica dell’apprendimento si compone di una prova scritta (obbligatoria) e di una prova orale (facoltativa). Ogni prova scritta prevede la risoluzione completa di n.6 esercizi. Il tempo assegnato per la prova scritta è di 2 ore. Gli argomenti e le difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il voto massimo attribuito alla prova scritta è pari a 27/30. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 18/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico, entro il quale dovrà essere sostenuta l’eventuale prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l’autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l’abilità comunicativa, le proprietà di linguaggio scientifico e, quindi, di valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e dell’eventuale esito della prova orale. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere per ciascun modulo. Il superamento delle prove in itinere di ciascun modulo implica l’esonero dalla prova scritta del modulo corrispondente. Ciascuna prova prevede la risoluzione completa di 6 esercizi ed il tempo assegnato è di 2 ore. Tali prove si svolgono, rispettivamente, a 2/3 ed alla fine del periodo delle lezioni (in date concordate con gli studenti). Relativamente al primo modulo, la prima prova prevede lo svolgimento di esercizi sugli argomenti: geometria analitica, numeri complessi, calcolo dei limiti e delle derivate; la seconda prova verte su studio di funzioni ed integrali. Relativamente al secondo modulo, la prima prova in itinere prevede lo svolgimento di esercizi sugli argomenti di calcolo differenziale ed integrale per funzioni di due variabili; la seconda prova verte su equazioni differenziali ordinarie del I e II ordine. Il voto massimo attribuito a ciascuna prova in itinere è pari a 27/30. Ogni prova in itinere si ritiene superata se il voto è non inferiore a 18/30. Durante le prove scritte e le prove in itinere è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare dei formulari.

Assessment

For each of the two modules constituting the whole course, the exam consists of a written test (mandatory) and an oral test (optional). Each written test requires the complete solution of six exercises. The time allotted for the written test is two hours. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The maximum score associated to the written test is 27/30. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 18/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course (definitions, relevant examples, theorems, applications, links between the various topics). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then, to evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and the optional oral exam. During the course, there are two ongoing written tests for each module. Students who pass the two ongoing tests are exempt from the final written exam of the corresponding module. In each ongoing test, students are asked to perform the complete development of six exercises. The time allotted for each ongoing test is two hours. The ongoing tests are held respectively at two third and the end of the whole period of lectures (on dates that are agreed during the lessons with the students). Relatively to the first module, the ongoing tests on the first module involves exercises on: analytic geometry, complex numbers, calculation of limits and derivatives; the second ongoing test focuses on study of functions and integrals. Relatively to the second module, the first ongoing test involves exercises on differential and integral calculus of functions of two variables; the second one focuses on first-order and second-order ordinary differential equations. The maximum score associated to each ongoing test is 27/30. Each ongoing test is passed if the score is equal to, or greater than, 18/30. During written and ongoing exams, the use of a calculator and of a table of formulas is permitted.

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: A000857 - CALCULUS - MOD. A ------------------------------------------------------------ Insiemi ed elementi. Sottoinsiemi. Relazioni di inclusione. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali. Numeri reali. Operazioni tra numeri reali. Relazioni d'ordine. Valore assoluto. Intervalli. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Radice n-esima aritmetica. Potenze ed esponenziali. Logaritmi. Numeri complessi. Forma algebrica. Operazioni: somma, prodotto, rapporto. Piano di Gauss. Modulo. Forma trigonometrica ed esponenziale. Potenze e radici. Geometria analitica. Equazioni e curve. Rette and piani. Coniche. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, immagine, grafico. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzioni invertibili. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzione segno, gradino di Heaviside, funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Definizione di limite. Limiti destro e sinistro ed esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Retta reale estesa e algebrizzazione parziale di "infinito". Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti. Derivata e retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Test di monotonia. Ricerca i massimi e minimi. Differenziale e approssimazione lineare. Derivata seconda. Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Primitive. Integrale indefinito. Integrali immediati. Metodi di integrazione: per parti e per sostituzione. Integrale definito. Interpretazione geometrica. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Media integrale. ------------------------------------------------------------ Modulo: A000864 - CALCULUS - MOD. B ------------------------------------------------------------ FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI: Scalari e vettori, rappresentazione intrinseca e cartesiana dei vettori. Operazioni su vettori: somma, sottrazione, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, proiezione ortogonale. Spazio euclideo R^n. Funzioni vettoriali. Funzioni reali a due e più variabili; dominio, grafico, intorno, curve di livello, limiti, continuità, derivabilità. Derivate parziali, piano tangente, operatore gradiente. Differenziabilità, derivate direzionale. Derivata di funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi assoluti e relativi di funzione di due variabili. Esempi applicativi: metodo dei minimi quadrati in ambito statistico. Ottimizzazione vincolata. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. INTEGRAZIONE MULTIPLA: Integrali doppi. Significato geometrico dell’integrale doppio. Proprietà dell’integrale doppio. Calcolo di integrali doppi su domini normali e per funzioni a variabili separabili. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari, matrice jacobiana. Esempi applicativi: calcolo baricentri di sistemi materiali. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Equazioni differenziali ordinarie: definizione, ordine, forma normale, forma autonoma, soluzione generale, particolare e singolare, problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari (omogenee e non omogenee) e non lineari (a variabili separabili). Problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee). Metodo di somiglianza. Cenni ad esempi fisici applicativi: oscillatore elementare e circuiti elettrici RLC. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.

Course Syllabus

------------------------------------------------------------ Modulo: A000857 - CALCULUS - MOD. A ------------------------------------------------------------ Sets and elements. Subsets. Inclusion relation. Operations between sets: union, intersection, difference, complementation, Cartesian product. Natural, integer, rational, irrational numbers. Real numbers. Operations between real numbers. Order between real numbers. Absolute value. Intervals. Maximum and minimum, upper and lower bounds of a set. Arithmetic n-th root. Powers and exponentials. Logarithms. Complex numbers. Algebraic form. Operations: sum, product, ratio. Gauss plan. Modulus. Trigonometric and exponential forms. Powers and roots. Analytic geometry. Equations and curves. Lines and planes. Conic sections. Real-valued functions of a single real variable. Domain, image, graph. Compound functions. Inverse functions. Symmetric functions. Periodic functions. Simple functions: linear functions, absolute value function, sign function, Heaviside step, power functions, exponential and logarithmic functions, trigonometric functions and inverse trigonometric functions. Definition of limit. Left and right limits and existence of the limit. Calculation of limits. Extended real line and partial algebraization of "infinity". Algebra of limits. Remarkable limits. Comparison between infinites and hierarchy of infinites. Continuous functions. Discontinuity points. Asymptotes. Derivative and tangent line. Derivatives of elementary functions. Calculation rules of derivatives. Stationary points. Local maxima and minima. Monotony test. Differential and linear approximation. Second derivative. Concavity and convexity. Study of the graph of a function. Antiderivatives. Indefinite integral. Integrals of simple functions. Integration methods: by parts and by substitution. Defined integral. Geometric interpretation. Fundamental theorem of integral calculus. Mean of a function over a closed interval. ------------------------------------------------------------ Modulo: A000864 - CALCULUS - MOD. B ------------------------------------------------------------ DIFFERENTIAL CALCULUS FOR SCALAR AND VECTOR FIELDS: Scalar and vector, intrinsic and cartesian representation of vectors. Operations on vectors: sum, subtraction, product by a scalar, scalar product, vector product, mixed product, orthogonal projection. Vector functions. The Euclidean space R^n. Real-valued functions of two variables: domain, image, graph, limits, continuity, derivatives. Partial derivatives, tangent plane and gradient operator. Differentiability, directional derivatives. Derivative of a composite function. Higher-order partial derivatives. Hessian matrix. Schwarz theorem. Local and global extrema of functions of two variables. Applications to least square methods in statistics. Constrained optimization. Method of Lagrange multiplier. MULTIPLE INTEGRATION: Double integrals and their properties. Geometric interpretation of double integrals. Double integrals on intervals. Change of variables in double integrals: polar coordinates. Jacobian matrix. Applications to the calculus of center of mass of material systems. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: Ordinary differential equations: definition, order, normal form, autonomous form, general, particular and singular solution. Cauchy problem. Cauchy theorem on uniqueness and existence of solutions. Linear (homogeneous and non-homogeneous) and nonlinear (separable variables) first-order ordinary differential equations. Cauchy problem for first-order ordinary differential equations. Linear (homogeneous and non-homogeneous) second-order ordinary differential equations with constant coefficients. Similarity method. Physical applications: elementary oscillator and RLC electrical circuits. Cauchy problem for second-order ordinary differential equations.