Obiettivi Formativi

Il modulo si propone l'acquisizione dei fondamenti del calcolo differenziale e integrale di funzioni di più variabili reali nonché le tecniche di integrazione su curve curando lo sviluppo della capacità di applicarli in ambito scientifico. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti: Elementi di topologia in Rn; Limiti e continuità per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali; Calcolo differenziale per funzioni reali e vettoriali di più variabili reali; Teoria di ottimizzazione: massimi e minimi locali e cenni su massimi e minimi vincolati e funzioni implicite; Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili reali; Curve in Rn. Integrale curvilineo di 1ᵃ specie; Forme differenziali lineari e integrale curvilineo di 2ᵃ specie.

Learning Goals

The module aims to provide the fundamentals of differential and integral calculus of functions of several real variables as well as of integration techniques on curves, taking care of the development of the ability to apply them in the scientific field. In particular, the following topics are of fundamental importance: Elements of topology in Rn; Limits and continuity for real and vector functions of several real variables; Differential calculation for real and vector functions of several real variables; Optimization theory: local maxima and minima and hints on constrained maxima and minima and implicit functions; Integral calculation for real functions of several real variables; Curves in in Rn. Curvilinear integral of 1st species; Linear differential forms and curvilinear integral of 2nd species.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons, guided exercises with teacher support, and exam simulations with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica di base e degli argomenti svolti nel corso di Matematica I.

Prerequisites

Knowledge of basic mathematical analysis and of the topics covered in the course of Mathematics 1.

Verifiche dell'apprendimento

Durante lo svolgimento del corso è prevista una prova scritta in itinere riguardante i seguenti argomenti trattati durante il corso: calcolo differenziale per funzioni in più variabili, integrali doppi, integrali curvilinei, massimi e minimi. Alla prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che non partecipano alla prova in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami. Gli studenti che nella prova di verifica in itinere o nella prova scritta conseguono un punteggio medio pari o maggiore a 15/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario. Il colloquio orale è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso e la valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell’esposizione con linguaggio scientifico. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.

Assessment

During the course there is an on-going written test concerning the following topics covered during the course: differential calculus for functions in several variables, double integrals, curvilinear integrals, maximum and minimum. The test is given an evaluation out of thirty. Students who do not participate in the ongoing test can take the written test during the exams scheduled in the exam calendar. Students who achieve an average score equal to or greater than 15/30 in the on-going verification test or in the written test will be able to take the oral exam during the sessions established by the calendar. The oral interview focuses on the topics covered during the course and the assessment takes into account the knowledge acquired, the ability to apply the concepts studied and exposure with scientific language. The exam is considered passed if the average score between the written and oral part is equal to or greater than 18/30.

Programma del Corso

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI: Elementi di topologia in Rᴺ.  Funzioni reali di più variabili: limiti e continuità. Teoremi fondamentali sulla continuità. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili: derivate parziali, derivate direzionali, differenziale e funzioni differenziabili. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti affinché la funzione sia differenziabile. Derivate successive e Teorema di Schwarz. Differenziabilità di funzioni composte. Funzioni vettoriali di più variabili. Differenziabilità di funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Matrice Hessiana. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Forme quadratiche. Cenni sulle funzioni implicite ed alcune applicazioni.  INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI: Curve in Rᴺ. Curve piane e curve sghembe. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione reale di più variabili. Proprietà dell’integrale curvilineo.  Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Differenziale esatto. 1° criterio sul differenziale esatto. Forme differenziali chiuse. 2° criterio sul differenziale esatto. Insiemi semplicemente connessi in Rᴺ. CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI: Integrali doppi in rettangoli. Proprietà e teorema di riduzione.  Integrali doppi in domini normali. Integrale doppio di una funzione limitata su domini regolari. Proprietà elementari dell'integrale doppio il teorema di riduzione.  Cambiamento di variabili e coordinate polari. Integrali tripli in parallelepipedi. Proprietà dell’integrale triplo e teorema di riduzione. Integrale triplo in domini regolari. Teorema di riduzione e formule di proiezione e sezione. Trasformazione di coordinate e coordinate sferiche e cilindriche. Cenni sugli integrali multipli. Le formule di Gauss-Green per l’integrale doppio. 

Course Syllabus

DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES: Topology elements in Rá´º. Real functions of several variables: limits and continuity. Fundamental theorems on continuity. Differential calculus for real functions of several variables: partial derivatives, directional derivatives, differential and differentiable functions. Necessary conditions and sufficient conditions for the function to be differentiable. Subsequent derivatives and Schwarz's theorem. Differentiability of composed functions. Vector functions of several variables. Differentiability of vector functions. Jacobian matrix. Hessian matrix. Local maxima and minima for functions of several variables. Quadratic forms. Notes on implicit functions and some applications. DIFFERENTIAL 1-FORMS: Curves in Rá´º. Plane curves and crooked curves. Regular curves. Length of a curve. Curvilinear abscissa. Curvilinear integral of a real function of several variables. Curvilinear integral properties. Linear differential forms. Curvilinear integral of a differential form. Exact differential. 1st criterion on the exact differential. Closed differential forms. 2nd criterion on the exact differential. Sets simply connected in Rá´º. INTEGRAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES: Double integrals in rectangles. Properties and reduction theorem. Double integrals in normal domains. Double integral of a limited function on regular domains. Elementary properties of the double integral the reduction theorem. Change of variables and polar coordinates. Triple integrals in parallelepipeds. Triple integral properties and reduction theorem. Triple integral in regular domains. Reduction theorem and projection and section formulas. Transformation of coordinates and spherical and cylindrical coordinates. Notes on multiple integrals. The Gauss-Green formulas for the double integral.