Obiettivi Formativi

I modelli matematici della fisica classica. Acquisizione ed approfondimento delle metodologie matematiche appropriate alle descrizione della dinamica dei sistemi materiali discreti ed ai modelli della Meccanica Statistica.

Learning Goals

The mathematical models of Newtonian Mechanics. Understanding the appropriate mathematical methods to describing the dynamics of discrete material systems and to the approaches of Statistical Mechanics.

Metodi didattici

Lezioni frontali. Esercitazioni guidate.

Teaching Methods

Lectures. Guided exercises.

Prerequisiti

Spazi vettoriali. Calcolo differenziale ed integrale. Equazioni differenziali ordinarie. Cinematica e dinamtica dei sistemi di punti materiali.

Prerequisites

Vector spaces. Differential and integral calculus. Ordinary differential equations.Kinematics and Dynamics of particle systems.

Verifiche dell'apprendimento

Prove di verifica tematiche sugli argomenti del programma. Esame finale orale.

Assessment

Assessment test issues on the topics of the program. Final oral examination.

Programma del Corso

Vincoli bilaterali, unilaterali. Vincoli olonomi, vincoli anolonomi. Gradi di libertà. Coordinate lagrangiane. Spostamenti possibili. Spostamenti virtuali. Vincoli ideali. Relazione simbolica della dinamica. Teorema dei lavori virtuali. Spazio delle configurazioni. Equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange nel caso conservativo. Potenziali generalizzati. Forza di Lorentz. Invarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni di punto nello spazio delle configurazioni. Trasformazioni di gauge. Trasformazione di Legendre. Spazio delle fasi. Variabili canoniche. Funzione di Hamilton. Equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson e loro proprietà. Integrali primi di un sistema canonico. Elementi di calcolo della variazioni. Integrale di Hamilton. Principio variazionale di Hamilton: forma lagrangiana, forma hamiltoniana. Sistemi dinamici. Flussi integrali. Flusso hamiltoniano. Teorema di Liouville. Trasformazioni che conservano la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Criteri per riconoscere la natura canonica di una trasformazione nello spazio delle fasi. Esempi di trasformazioni canoniche. Natura canonica del flusso hamiltoniano. Metodo di Jacobi per l’integrazione delle equazioni di Hamilton. Equazione di Hamilton-Jacobi. Integrale completo dell’equazione di Hamilton-Jacobi. Metodo di separazione delle variabili per l’equazione di Hamilton-Jacobi Trasformazioni canoniche infinitesime e vicine all’identità. Simmetrie ed integrali primi del moto. Introduzione alla meccanica statistica.Insieme statistico. Media e misura di grandezze osservabili. Equazione di Liouville. Insiemi statistici ergodici. Insieme microcanonico e densità degli stati. Equipartizione dell’energia.

Course Syllabus

Kinematics of constrained systems. Models of Newtonian mechanics. Lagrangian formalism. Lagrange equations and their structural properties; invariance under point transformations and under Gauge transformations. The variational principles of mechanics. Hamilton's principle. Phase space. Legendre transformation. Hamiltonian formalism. Canonical equations and their structural properties. Canonical transformations.Infinitesimal canonical transformations. Statiscal Ensemble. Liouville equation. Microcanonical Ensemle.