Obiettivi Formativi

Fornire conoscenze su: strumenti dell’Analisi Matematica peculiarmente finalizzati e proposti in forma adeguata allo studio dei fenomeni fisici. In particolare: funzioni di più variabili – derivate parziali – integrali multipli – integrali di linea e di superficie – successioni e serie di funzioni – sviluppi in serie.

Learning Goals

Provide knowledge of: tools of mathematical analysis peculiarly finalized and presented in a form appropriate to study physical phenomena. In particular: functions of several variables - partial derivatives – multiple integrals - line and surface integrals - sequences and series of functions – series expansions.

Metodi didattici

lezioni frontali

Teaching Methods

frontal lessons

Prerequisiti

Un fondamentale prerequisito è la conoscenza dei contenuti del corso di Matematica I.

Prerequisites

A fundamental prerequisite is the knowledge of the course content of Mathematics I.

Verifiche dell'apprendimento

prova scritta e orale

Assessment

written and oral exam

Programma del Corso

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Elementi di topologia in R^n: distanza tra due punti, altre metriche in R^n, intorno di un punto, punto esterno, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi, insiemi compatti. Definizione di limite di una funzione. Condizione necessaria per l'esistenza del limite . Definizione di funzione continua. Teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali di una funzione, teorema di Schwarz. Differenziabilità di una funzione. Condizione necessaria di differenziabilità . Differenziale di una funzione. Relazione tra differenziabilità e continuità. Relazione tra differenziabilità e derivabilità . Funzione composta, teorema sull'esistenza della derivata della funzione composta. Derivata direzionale di una funzione, teorema sull'esistenza delle derivate direzionali. Applicazioni fisiche del calcolo differenziale. Teorema del differenziale totale. Teorema di Lagrange. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo. ESTREMI RELATIVI ED ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI Cenni sulle forme quadratiche in R^{n}: forme quadratiche semidefinite positive, negative, forme quadratiche definite positive, negative. Estremi relativi di una funzione: definizione, punti di estremo relativo proprio, condizione necessaria del primo ordine, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente del secondo ordine per i punti di estremo relativo proprio. Ricerca degli estremi relativi di una funzione. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione. FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE Funzioni definite implicitamente da un'equazione in due variabili. Teorema del Dini (esistenza ed unicità della funzione implicita), continuità della funzione implicita, derivabilità della funzione implicita. Estremi vincolati. Teorema sui moltiplicatori di Lagrange. CURVE REGOLARI E INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE Rappresentazioni parametriche equivalenti, curve regolari in R^n, traccia di una curva, curve chiuse, curve semplici, versore tangente, versore normale. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Baricentro di una curva regolare. FORME DIFFERENZIALI LINEARI E INTEGRALI CURVILINEI DI SECONDA SPECIE Funzioni lineari su R^n. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale di una forma differenziale . Forme differenziali esatte. Primitive di una forma differenziale esatta. Condizione necessaria di esattezza. Criterio di esattezza.Forme differenziali chiuse. Relazione tra forme differenziali chiuse e forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse su insiemi aperti semplicemente connessi. Significato fisico delle forme differenziali lineari in R^3. CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Integrale doppio. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili in un integrale doppio: coordinate polari. Baricentro di un dominio. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione. Integrale triplo. Integrazione per fili e per strati.Cambiamento di variabili in un integrale triplo: coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Formule di Gauss-Green, formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE Rappresentazione parametrica di una superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici di rotazione. Applicazione del teorema di Guldino per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione. Integrale di superficie di una funzione. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.

Course Syllabus

DIFFERENTIAL CALCULUS FOR MORE VARIABLES FUNCTIONS Notes of topology in R^n. Distances on R^n. Internal , external and border points. Isolated points and accumulation points. Open and closed sets. Bounded sets. Compact and connected sets. Limit for a more variables real function. Necessary condition for limit’s existence. Continuity of a more variables real function. Continuity results. Partial derivatives, Schwarz’s theorem about mixed partial derivatives. Differentiable functions. Necessary condition for differentiability. Differential of a function. Relationship between continuity and differentiability. Relationship between partial derivatives and differentiability. Composite function. Theorem on existence of derivative of a composite function. Directional derivative. Theorem on existence of directional derivative. Physical applications of differential calculus. Theorem of the total differential. Lagrange’s Theorem. RELATIVE AND ABSOLUTE MAXIMA AND MINIMA. Notes on quadratic forms on R^n. Relative extrema of a more variables real function. First order necessary condition. Second order necessary condition. Second order sufficient condition. Study of the nature of critical points. Finding relative and absolute extrema of a function. IMPLICITLY DEFINED FUNCTIONS Implicitly defined functions. Dini's theorem (existence and unicity of implicit function), implicit function’s continuity and derivability. Method of Lagrange multipliers for constrained optimization. REGULAR CURVES AND LINE INTEGRALS OF THE FIRST TYPE Equivalent parametric representations, regular curves on R^n. Unit tangent and unit normal. Lenght of a curve. Curvilinear abscissa. Line integral of a function. Centroid of a regular curve. DIFFERENTIAL FORMS AND LINE INTEGRALS OF THE SECOND TYPE Differential forms on R^n. Line integral of a differential form. Exact differential forms. Primitive of an exact differential form. Necessary condition for exactness. Sufficient and necessary conditions for exactness. Closed differential forms. Relationship between closed and exact differential forms. Closed differential forms on simply connected open sets. Physical meaning of differential forms in R^3. INTEGRATION OF FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES Double integral. Change of variables in a double integral: polar coordinates. Centroid of a domain. Guldino’s theorem to find volume of a revolution solid. Triple integral. Change of variables in a triple integral: spherical and cylindrical coordinates. Green formula and applications. SURFACES AND SURFACE INTEGRALS Parametric representation of a regular surface. Tangent plane and normal vector. Surface area. Revolution surfaces. Guldino’s theorem to find area of a revolution surface. Surface integral of a scalar function. Surface integral of a vectorial function.