Obiettivi Formativi

Fornire i riferimenti teorici per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali attraverso la determinazione delle loro simmetrie di Lie. Fornire gli strumenti computazionali per la determinazione di soluzioni esatte e approssimate di equazioni differenziali di interesse nelle applicazioni fisico-matematiche.

Learning Goals

To provide the theoretical background for the study of ordinary and partial differential equations though the determination of their Lie symmetries. To provide the computational tools for the determination of exact and approximate solutions of differential equations of interest in mathematical physics.

Metodi didattici

Discussione di un'applicazione dei metodi presentati nel corso ed esame orale.

Teaching Methods

Discussion of an application of the methods presented in the course and oral examination.

Prerequisiti

Strutture algebriche (gruppi, algebre). Elementi di geometria differenziale. Funzioni analitiche di più variabili. Analisi in varietà differenziabili.

Prerequisites

Algebraic structures (groups, algebras). Basic elements of differential geometry. Multi-variables analytic functions. Calculus in differentiable manifolds.

Verifiche dell'apprendimento

Discussione di un'applicazione dei metodi presentati nel corso ed esame orale.

Assessment

Presentation of an application of the methods discussed in the course and oral examination.

Programma del Corso

1. Gruppi di Lie. Gruppi di trasformazioni ad un parametro. Gruppi continui. Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Sistemi ottimali di sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti di un gruppo di trasformazioni. Variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Equazioni differenziali come sottovarietà dello spazio dei getti. Simmetrie continue delle equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie per la determinazione delle simmetrie di un'equazione differenziale. Invarianti differenziali. 2. Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Riduzione a quadratura di un'equazione di ordine n che ammette un'algebra n-dimensionale risolvibile. Esempi e applicazioni. 3. Simmetrie di Lie di equazioni a derivate parziali. Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma. Principali teoremi ed applicazioni. Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma lineare. Principali teoremi ed applicazioni. Trasformazione di equazioni differenziali quasilineari a derivate parziali in forma omogenea. Principali teoremi ed applicazioni. Equazioni Lie-remarkable (univocamente determinate dalle loro simmetrie). 4. Simmetrie generalizzate. Simmetrie non classiche: teoria ed applicazioni. Simmetrie potenziali: teoria ed applicazioni. Simmetrie di contatto: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Simmetrie di Lie-Backund. Trasformazioni di equivalenza. 5. Simmetrie approssimate. Gruppi di trasformazioni approssimate. Equazioni di Lie approssimate. Simmetrie approssimate. Simmetrie stabili. Equazioni determinanti. Integrazione delle equazioni differenziali con le simmetrie approssimate. Soluzioni approssimativamente invarianti. Leggi di conservazione approssimate. 6. Computer algebra e simmetrie. Determinazione ed uso delle simmetrie delle equazioni differenziali al calcolatore. Implementazioni in Mathematica (MathLie) e Reduce (Relie). Calcolo automatico di un sistema ottimale di algebre di Lie (SymboLie). Modalità di verifica delle conoscenze: Esame orale sui contenuti del corso.

Course Syllabus

1. Lie groups. One-parameter transformation groups. Continuous groups. Lie groups. Lie algebras. Abelian algebras, solvable algebras, semisemple algebras. Lie subalgebras. Optimal systems of Lie subalgebras. Infinitesimal transformation grpups. Infinitesimal operators. Lie's fundamental theorems. Lie's equations. Invariants of a transformation group. Canonical variables. Geometric theory of differential equations. Differential manifolds. Jet spaces. Differential equations viewed as submanifolds of jet space. Continuous symmetries of differential equations. Prolongation of Lie groups. Lie's algorithm for deriving the symmetries of differential equations. Differential invariants. 2. Lie symmetries of ordinary differential equations. First order ordinary differential equations. Determination of an integrating factor. Higher order ordinary differential equations. Computation of symmetries. Structure of the algebra of symmetries. Lowering the order of an ordinary differential equation through canonical variables or differential invariants. Quadrature of an n--th order ordinary differential equations admitting an n--dimensional solvable Lie algebra. Examples and applications. 3. Lie symmetries of partial differential equations. Determination of Lie symmetries of partial differential equations. Invariant surface condition. Invariant solutions. Examples and applications (linear and nonlinear wave and heat equations, Euler equations of gas dynamics, magneto-gas-dynamics equations, Burgers, Korteweg-de Vries equations and generalizations). Transformation of partial differential equations to autonomous form. Main theorems and applications. Transformation of partial differential equations to linear form. Main theorems and applications. Transformation of quasilinear partial differential equations in homogeneous form. Main theorems and applications. Lie remarkable equations (univoquely characterized by their symmetries). 4. Generalized symmetries. Non classical symmetries: theory and applications. Potential symmetries: theory and application. Contact symmetries: theory and applications. Variational symmetries: Noether theorem. Lie-Backund symmetries. Equivalence transformations. 5. Approximate symmetries. Groups of approximate symmetries. Approximate Lie's equations. Syable symmetries. Determining equations. Integration of differential equations through approximate symmetries. Approximately invariant solutions. Approximate conservation laws. 6. Computer algebra and simmetries. Computer assisted determination of symmetries of differential equations. Mathematica (MathLie) and Reduce (ReLie) implementations. Automatic computation of optimal systems of Lie subalgebras (SymboLie). Way of checking knowledge: Oral examination on the course content.