Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire conoscenze anche avanzate sulle trasformate di Fourier e di Laplace sia nell’ambito delle funzioni che in quello delle distribuzioni. Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite per affontare problemi di varia natura il cui modello matematico coinvolge equazioni e sistemi differenziali lineari ordinari non sempre risolvibili con i metodi classici (ad esempio quelli con secondo membro discontinuo oppure quelli con termini di ritardo).

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Prerequisiti

Conoscenza degli argomenti dei corsi di Analisi Matematica per una laurea di primo livello che comprendano il calcolo differenziale and integrale e le successioni e serie di funzioni.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Programma del Corso

Richiami di Analisi Complessa. Trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Uniforme continuità della trasformata di Fourier. Teorema di Riemann-Lebesgue. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e derivazione. Convoluzione. Formula di moltiplicazione. Teoremi di inversione. Identità di Parseval. Trasformata di Laplace: Trasformabilità e assoluta trasformabilità secondo Laplace in un punto di funzioni localmente sommabili. Definizione di trasformata di Laplace in un punto. Proprietà della trasformata di Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace. Teorema sulla convoluzione e sue conseguenze. Teorema del valore iniziale. Teorema del valore finale. Il problema dell’antitrasformazione. Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni ed ai sistemi di equazioni differenziali lineari ordinarie. Distribuzioni: Lo spazio D delle funzioni test. Lo spazio S di Schwartz. Lo spazio E. Immersione di D in S e di D in E. Densità di D in E. Lo spazio D' delle distribuzioni. Distribuzioni funzione. Il delta di Dirac. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Distribuzioni misura. Derivata di una distribuzione. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate. Il duale E' dello spazio E. Convoluzione tra distribuzioni. Le trasformate di Fourier e di Laplace nell’ambito delle distribuzioni.