Obiettivi Formativi

Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica dei sistemi meccanici, dalla meccanica newtoniana fino allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà più rilevanti (statiche e dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali mediante linearizzazione.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni mediante lavagna e videoproiettore

Prerequisiti

Conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica, Geometria e Fisica

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta sugli argomenti trattati durante le esercitazioni e successivo esame orale su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Attività di ricevimento studenti durante l'intero anno accademico.

Programma del Corso

Componente cartesiana di un vettore. Prodotto scalare-vettore. Somma di vettori. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Doppio prodotto vettoriale. Risultante di un sistema di vettori. Momento polare e assiale. Asse centrale. Coppie. Operazioni elementari. Riduzione di un sistema di vettori applicati. Sistemi piani di vettori. Sistemi di vettori paralleli Matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici di rotazione e trasformazioni di similitudine. Autovalori ed autovettori. Matrici definite di segno. Vettori funzione. Versore tangente, normale principale, binormale. Curvatura, triedro di Frenet. Cinematica del punto: Velocità, accelerazione e loro proprietà. Spostamenti elementari ed effettivi. Moti piani. Moto rigido. Equazioni cartesiane di un moto rigido. Angoli di Eulero. Formule di Poisson. Velocità angolare. Legge di distribuzione delle velocità, delle accelerazioni e degli spostamenti elementari. Classificazione e proprietà caratteristiche dei moti rigidi. Atti di moto. Teorema di Mozzi. Teorema di addizione delle velocità. Teorema di derivazione relativa. Teorema di Coriolis. Teorema di addizione delle velocità angolari. Mutuo rotolamento di due superfici rigide. Traiettorie polari nei moti rigidi piani. Vincoli e loro classificazione. Rappresentazione analitica. Sistemi olonomi. Spostamenti possibili e virtuali. Concetto di massa. Baricentro di un sistema particellare e continuo. Teoremi di ubicazione del baricentro. Momento d'inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti. Ellissoide e matrice d'inerzia.Giroscopi. Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica. Teorema del baricentro e teoremi di Koenig. Modelli e classificazione delle forze. Definizione di lavoro elementare ed effettivo. Lavoro lungo un cammino finito per forze generali e forze posizionali non conservative. Forze conservative. Potenziale ed energia potenziale. Sistemi di forze e lavoro di un sistema di forze. Lavoro virtuale nel caso di corpi rigidi e di sistemi olonomi. Principio di inerzia. Principio di proporzionalità tra forza e accelerazione. Principio di azione e reazione. Principio del parallelogramma delle forze. Postulato delle reazioni vincolari. Principio di relatività galileiana. Leggi di Keplero e principio di gravitazione universale. Equilibrio di un punto materiale. Equazioni di un punto vincolato su una superficie. Equilibrio rispetto ad un sistema non inerziale. Meccanica terrestre: peso. Statica del corpo rigido Problema del corpo rigido pesante appoggiato su un piano orizzontale liscio. Cenni sull'equilibrio di travi e fili. Principio delle reazioni vincolari: Principio dei lavori virtuali. Stabilità dell'equilibrio. Diagramma di biforcazione. Equilibrio di un sistema olonomo. Equazioni cardinali della dinamica. Equazioni di Eulero. A integrazione del programma vengono proposti alcuni esempi ed esercizi svolti mediante l'ausilio del software Matlab