Obiettivi Formativi

Il corso si propone di studiare il moto e l’equilibrio di fondamentali modelli matematici che approssimano nell’ambito della teoria newtoniana i sistemi fisici, in uno schema logico-deduttivo. Il corso ha la finalità di insegnare a costruire un modello per lo studio dei fenomeni, ad analizzare il modello con mezzi matematici ed a tradurre poi i risultati nelle applicazioni.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni guidate.

Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale. Elementi di geometria differenziale delle curve e delle superfici.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consta di una prova scritta e di una prova orale. La prima verte sulla risoluzione di alcuni problemi inerenti vari argomenti trattati nel corso, con particolare riferimento alla dinamica e statica dei sistemi olonomi. La seconda ha lo scopo di accertare la maturità raggiunta dallo studente nell’acquisizione dei vari concetti. Durante il corso vengono effettuate tre prove di verifica che permettono, se superate, di essere esonerati dalla prova scritta in uno dei tre appelli della prima sessione d'esami.

Programma del Corso

Vettori. Rappresentazione intrinseca ed estrinseca dei vettori liberi. Spazi vettoriali lineari. Prodotto scalare, vettore e misto. Doppio prodotto vettore. Rappresentazione cartesiana delle operazioni tra vettori. Simboli di Kronecker e di Levi-Civita. Operazioni tra vettori in notazione indiciale. Cambiamenti di base. Funzioni vettoriali. Elementi di geometria differenziale delle curve sghembe e delle superfici. Formule di Frenet. Sistemi di vettori applicati. Risultante e momento polare risultante. Momento assiale. Coppia. Riducibilità di un sistema di vettori applicati. Asse centrale. Centro di un sistema di vettori applicati paralleli. Cinematica del punto. I concetti di spazio e tempo. Vettore posizione e vettore spostamento. Velocità ed accelerazione. Moti rettilinei uniformi e ad accelerazione costante. Moti piani. Velocità ed accelerazione radiale e traversa. Velocità ed accelerazione areale. Moto circolare. Moto armonico. Moto composto. Moti centrali. Moto dei pianeti. Cinematica dei corpi rigidi. Concetti introduttivi sui sistemi materiali. Movimento rigido e corpo rigido. Velocità e accelerazione in un moto rigido. Formule di Poisson. Moti rigidi particolari. Moto rotatorio. Moto elicoidale. Moto polare. Moto rigido piano. Caratteristiche del vettore velocità angolare. Angoli di Eulero. Teorema di Mozzi. Cinematica relativa.Moti relativi. Principio di Galileo. Teorema di Coriolis. Moti rigidi relativi. Teorema di Resal. Mutuo rotolamento di due superfici rigide. Curve polari. Cinematica dei sistemi vincolati. Vincoli e loro classificazione. Grado di libertà di un sistema materiale. Coordinate lagrangiane. Sistemi olonomi ed anolonomi. Spostamenti possibili, elementari e virtuali. Geometria delle masse. Massa, momento statico e baricentro di un sistema materiale. Proprietà del baricentro. Momento di inerzia di un sistema materiale. Teorema di Huygens-Steiner. Legge di variazione del momento di inerzia rispetto a rette concorrenti. Tensore d’inerzia ed ellissoide principale d’inerzia. Giroscopio. Cinematica delle masse. Quantità di moto, momento angolare ed energia cinetica di un sistema materiale. Forze d’inerzia. Energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido. Moto relativo al baricentro e teoremi di König. Forze, lavoro ed energia. Classificazione delle forze. Definizione di lavoro elementare e virtuale. Forze conservative. Lavoro di una sollecitazione. Lavoro virtuale di una sollecitazione agente su un corpo rigido e su un sistema olonomo. Dinamica del punto. I principi della dinamica. Dinamica del punto in un sistema di riferimento non inerziale. Dinamica terrestre. Punto materiale vincolato. Postulato delle reazioni vincolari. Leggi di Coulomb-Morin. Coni di attrito. Moto di un punto su una superficie fissa o una curva fissa. Equazioni intrinseche. Statica del punto. Equilibrio di un punto materiale. Statica del punto libero e del punto vincolato ad una superficie o ad una curva. Equilibrio rispetto ad un riferimento non inerziale. Dinamica dei sistemi. Equazioni cardinali della dinamica. Teorema delle forze vive. Vincoli perfetti. Integrali primi. Dinamica del corpo rigido. Equazioni di Eulero. Moti alla Poinsot. Moto di un corpo rigido con un asse fisso e liscio ed il problema dell’equilibratura del rotore. Statica dei sistemi. Equazioni cardinali della statica. Principio dei lavori virtuali. Statica del corpo rigido. Stabilità dell’equilibrio. Equilibrio di un sistema olonomo. Elementi di Meccanica analitica. Principio di d’Alembert. Equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi. Integrali primi tipici di un sistema lagrangiano. Piccole oscillazioni di un sistema nell’intorno di una configurazione di equilibrio stabile.