Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire conoscenze anche avanzate sulle trasformate di Fourier e di Laplace sia nell’ambito delle funzioni che in quello delle distribuzioni. Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite per affontare problemi di varia natura il cui modello matematico coinvolge equazioni e sistemi differenziali lineari ordinari non sempre risolvibili con i metodi classici (ad esempio quelli con secondo membro discontinuo oppure quelli con termini di ritardo).

Learning Goals

The purpose of the course is to provide basic and advanced knowledge about the Fourier and Laplace transforms both for functions and distributions. Students will be able to apply the acquired abilities to problems of various type whose mathematical model is described by ordinary linear differential equations and systems which classical resolution methods are not applicable to (as, for instance, when discontinuous or delay terms are involved).

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Teaching Methods

Lectures and tutorials.

Prerequisiti

Conoscenza degli argomenti dei corsi di Analisi Matematica per una laurea di primo livello che comprendano il calcolo differenziale and integrale e le successioni e serie di funzioni.

Prerequisites

Differential and integral calculus in R^n. Sequences and series of functions.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale.

Assessment

Oral test.

Programma del Corso

Richiami di Analisi Complessa. Trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Uniforme continuità della trasformata di Fourier. Teorema di Riemann-Lebesgue. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e derivazione. Convoluzione. Formula di moltiplicazione. Teoremi di inversione. Identità di Parseval. Trasformata di Laplace: Trasformabilità e assoluta trasformabilità secondo Laplace in un punto di funzioni localmente sommabili. Definizione di trasformata di Laplace in un punto. Proprietà della trasformata di Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace. Teorema sulla convoluzione e sue conseguenze. Teorema del valore iniziale. Teorema del valore finale. Il problema dell’antitrasformazione. Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni ed ai sistemi di equazioni differenziali lineari ordinarie. Distribuzioni: Lo spazio D delle funzioni test. Lo spazio S di Schwartz. Lo spazio E. Immersione di D in S e di D in E. Densità di D in E. Lo spazio D' delle distribuzioni. Distribuzioni funzione. Il delta di Dirac. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Distribuzioni misura. Derivata di una distribuzione. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate. Il duale E' dello spazio E. Convoluzione tra distribuzioni. Le trasformate di Fourier e di Laplace nell’ambito delle distribuzioni.

Course Syllabus

Outline of Complex Analysis. Fourier Transform: Fourier transform of a summable function. Uniform continuity of the Fourier transform. The Riemann-Lebesgue’s theorem. Properties of the Fourier transform. Convolution. Fourier transform e differentiation. Multiplication formula. Inversion theorems. Parseval identity. Laplace Transform: Laplace transformability e absolute trasformability of locally summable functions. Definition of Laplace transform. Proprieties of the Laplace transform. Holomorphy of the Laplace transform. Convolution theorem and its consequences. Initial value theorem. Final value theorem. The antitransformation problem. Application of the Laplace transform to linear ordinary differential equations and systems. Distributions: The space D of test functions. The Schwartz space S. The space E. Embeddings of D in S and S in E. Density of D in E. The space of distributions D'. Function distributions. The Dirac distribution δ. Convergence in the distributional sense. Measure distributions. Differentiation of distributions. The space S' of temperate distribution. The dual space E' of the space E. Convolution of two distributions. The Fourier and Laplace transforms of a distribution.