Obiettivi Formativi

L’obiettivo del corso è l’acquisizione del linguaggio matematico e lo sviluppo della capacità logico-deduttiva di apprendimento e di elaborazione di concetti matematici di base, sia in campo reale che in campo complesso. Il corso si propone di fornire i fondamenti del calcolo matriciale e del calcolo vettoriale nel piano e nello spazio, nonché le competenze di base nelle principali tecniche del calcolo infinitesimale e differenziale in più variabili, utili a sviluppare la capacità di costruire e di analizzare semplici modelli che descrivono, mediante l’utilizzo di equazioni differenziali e del calcolo integrale, fenomeni di interesse nell’ambito della Fisica e, più in particolare, della Chimica.

Learning Goals

The aim of the course is the acquisition of mathematical language and the development of the logical-deductive ability to learn and elaborate basic mathematical concepts, both in the real and in the complex field. The course aims to provide the fundamentals of matrix calculation and vector calculation in plane and space, as well as basic skills in the main techniques of infinitesimal and differential calculus in several variables, useful for developing the ability to build and analyze simple models which describe, through the use of differential equations and integral calculus, phenomena of interest in the field of Physics and, more particularly, of Chemistry.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni teoriche frontali ed esercitazioni. Le lezioni si svolgono in aula su lavagna (classica o multimediale). Si prevedono sia esercitazioni svolte dal docente che guidate svolte dagli studenti.

Teaching Methods

Lectures and exercises in the classroom. Lectures are held in the classroom and the exhibition takes place through (classical or multimedia) boards. There are also exercises carried out by the teacher and guided exercises carried out by students with teacher support.

Prerequisiti

Elementi di logica e di teoria degli insiemi. Elementi di calcolo algebrico, equazioni e sistemi di equazioni, disequazioni e sistemi di disequazioni in una incognita.

Prerequisites

Elements of logic and set theory. Elements of algebraic calculus, equations and systems of equations, inequalities and systems of inequalities in one unknown

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite una prova scritta, obbligatoria per tutti gli studenti. Per gli studenti che frequentano regolarmente le lezioni, durante il corso verranno programmate delle verifiche scritte in itinere, finalizzate all'esonero, totale o parziale, dalla prova scritta d'esame. Per gli studenti che non frequentano regolarmente e per quelli che non hanno svolto o non hanno superato le prove in itinere, è richiesto il superamento della prova scritta d’esame, sull'intero programma, da sostenere esclusivamente negli appelli d’esame ufficiali. La valutazione della prova scritta tiene conto anche delle argomentazioni teoriche fornite nella descrizione dello svolgimento degli esercizi. L'esame finale si considera superato qualora l'esito delle prove sostenute abbia dimostrato una conoscenza almeno sufficiente di tutti gli argomenti sviluppati durante il corso.

Assessment

The check of the skills acquired by students is carried out through a written exam, which is mandatory for all students. For students who regularly attend lessons, on-going written tests will be scheduled during the course, aimed at exempting, in whole or in part, from the final written exam. For students who do not attend regularly and for those who have not done or have not passed the on-going tests, it is required to pass the final written exam, on the entire program, to be taken exclusively in the official exam sessions. The evaluation of the written tests, both the on-going and the final ones, also takes into account the theoretical arguments provided in the description of the carrying out of the exercises. The exam is considered passed if the results of the tests have showed at least sufficient knowledge of all the topics developed during the course.

Programma del Corso

Numeri reali e complessi. Algebra lineare. Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una o più variabili reali. PROGRAMMA Insiemi ed elementi. Sottoinsiemi. Relazioni di inclusione. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali. Numeri reali. Operazioni tra numeri reali. Relazioni d'ordine. Valore assoluto. Intervalli. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Radice n-esima aritmetica. Potenze ed esponenziali. Logaritmi. Numeri complessi. Forma algebrica. Operazioni: somma, prodotto, rapporto. Piano di Gauss. Modulo. Forma trigonometrica ed esponenziale. Potenze e radici. Matrici. Operazioni con le matrici. Determinante. Rango. Matrice inversa. Vettori n-dimensionali. Lo spazio vettoriale R^n. Dipendenza e indipendenza lineare. Trasformazioni lineari. Autovalori e autovettori di una matrice. Diagonalizzazione di una matrice. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, immagine, grafico. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzioni invertibili. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzione segno, gradino di Heaviside, funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Definizione di limite. Limiti destro e sinistro ed esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Retta reale estesa e algebrizzazione parziale di "infinito". Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti. Derivata e retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Test di monotonia. Ricerca i massimi e minimi. Differenziale e approssimazione lineare. Derivata seconda. Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Integrale definito. Interpretazione geometrica. Media integrale. Primitive. Integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali immediati. Metodi di integrazione: per parti e per sostituzione. Funzioni reali di due o più variabili: dominio, grafico, curve di livello, limiti, continuità. Derivate parziali e derivate direzionali. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Operatori gradiente, divergenza e rotore. Massimi e minimi assoluti, relativi e vincolati di funzioni di due variabili. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari (omogenee e non omogenee) e non lineari (a variabili separabili, Bernoulli, omogenee). Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee). Problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine. Integrali doppi e interpretazione geometrica. Integrali doppi su intervalli. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari.

Course Syllabus

Real and complex numbers. Linear algebra. Differential and integral calculus for real-valued functions of a single or several real variables. PROGRAM Sets and elements. Subsets. Inclusion relation. Operations between sets: union, intersection, difference, complementation, Cartesian product. Natural, integer, rational, irrational numbers. Real numbers. Operations between real numbers. Order between real numbers. Absolute value. Intervals. Maximum and minimum, upper and lower bounds of a set. Arithmetic n-th root. Powers and exponentials. Logarithms. Complex numbers. Algebraic form. Operations: sum, product, ratio. Gauss plan. Modulus. Trigonometric and exponential forms. Powers and roots. Matrices. Operations with matrices. Determinant. Rank. Inverse matrix. N-dimensional vectors. The vector space R^n. Linear dependence and independence. Linear transformations. Eigenvalues and eigenvectors of a matrix. Diagonalization of a matrix. Analytic geometry. Equations and curves. Lines and planes. Conic sections. Real-valued functions of a single real variable. Domain, image, graph. Compound functions. Inverse functions. Symmetric functions. Periodic functions. Simple functions: linear functions, absolute value function, sign function, Heaviside step, power functions, exponential and logarithmic functions, trigonometric functions and inverse trigonometric functions. Definition of limit. Left and right limits and existence of the limit. Limits calculation. Extended real line and partial algebraization of "infinity". Algebra of limits. Remarkable limits. Comparison between infinites and hierarchy of infinites. Continuous functions. Discontinuity points. Asymptotes. Derivative and tangent line. Derivatives of elementary functions. Calculation rules of derivatives. Stationary points. Local maxima and minima. Monotony test. Differential and linear approximation. Second derivative. Concavity and convexity. Study of the graph of a function. Defined integral. Geometric interpretation. Mean of a function over a closed interval. Primitive functions. Indefinite integral. Fundamental theorem of integral calculus. Integrals of simple functions. Integration methods: by parts and by substitution. Real-valued functions of several real variables: domain, image, graph, level curves, limits, continuity. Partial derivatives and directional derivatives. Higher-order partial derivatives. Hessian matrix. Schwarz theorem. Gradient, divergence and curl operators. Local, constrained and global extrema of functions of two variables. Linear (homogeneous and non-homogeneous) and nonlinear (separable variables, Bernoulli, homogeneous) first-order ordinary differential equations. Linear (homogeneous and non-homogeneous) second-order ordinary differential equations with constant coefficients. Cauchy problem for first and second order ordinary differential equations. Double integrals and their geometric interpretation. Double integrals on intervals. Change of variables in double integrals: polar coordinates.