Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dello studio di alcune strutture algebriche astratte iniziato con il corso di Algebra 1, quali gli anelli e i campi. Si propone inoltre di fornire una conoscenza critica dei contenuti e dei metodi dell'algebra moderna.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Le attività potranno anche essere eventualmente erogate in modalità blended e-learning. Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge sia attraverso lezioni frontali che esercitazioni con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Supporti alla didattica: Dispense complete del corso e tracce d'esame fornite e dal docente

Prerequisiti

Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di Algebra I, in particolare con le tutte strutture algebriche ivi introdotte (gruppo, anello, campo).

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta per verificare la capacità di applicare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti a lezione e prova orale per verificare il grado di preparazione raggiunto e la proprietà di linguaggio rispetto agli argomenti trattati.

Programma del Corso

Teoria degli anelli: Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Fattorizzazione in un monoide commutativo ad elementi regolari. Elementi associati, primi, irriducibili. Monoidi fattoriali. Anelli fattoriali. Teoremi di caratterizzazione. Anelli principali. Anelli euclidei. Anelli di interi algebrici. Anello degli interi di Gauss. Anelli di interi algebrici principali. Anelli di interi algebrici euclidei. Anello dei polinomi in un numero finito di indeterminate. Polinomi su un anello fattoriale. Polinomio primitivo. Lemma di Gauss. Teorema di Gauss. Condizioni di catena: anelli noetheriani, anelli artiniani. Teorema della base di Hilbert. Anello di Prufer. Teoria dei campi: Campi. Spazi vettoriali. Estensioni di campi. Grado di un'estensione. Elementi algebrici, trascendenti. Polinomio minimo. Estensioni finite. Estensioni semplici. Estensioni finitamente generate. Estensioni algebriche. Estensioni trascendenti. Chiusura algebrica di un sottocampo in un campo. Campi algebricamente chiusi. Teorema di caratterizzazione. Chiusura algebrica di un campo. Campo di spezzamento di un polinomio. Teorema di esistenza e unicità. Campi finiti e loro applicazioni.