Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è fornire conoscenze su: spazi topologici, spazi metrizzabili, spazi primo e secondo numerabili, funzioni continue tra spazi topologici, operazioni su spazi topologici, assiomi di separazione, spazi connessi e connessi per archi, spazi compatti, compattificazioni.

Learning Goals

The aim of the course is to give knowledge of: topological spaces. Metrizable spaces, first and secound countable spaces, separation axioms, connected spaces, compact spaces and compactifications.

Metodi didattici

Lezioni frontali. Esercitazioni in aula. Seminari di approfondimento assegnati agli studenti

Teaching Methods

Lessons. Classroom exercise. Students seminars.

Prerequisiti

Conoscenze di base di teoria degli insiemi e di analisi. Padronanza degli argomenti svolti in Geometria I e Geometria II.

Prerequisites

Basic knowledge of set theory and analysis as well as mastery of the topics covered in Geometry I and Geometry II courses are required.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame orale è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi, ovvero il livello di conoscenza degli argomenti e la capacità di affrontare problematiche in ambito topologico.

Assessment

The oral examination is devoted to verify the level of achievements of educational goals, the knowledge of the theoretical topics and the ability to pose and solve topological problems.

Programma del Corso

1. "Spazi topologici." Definizione e esempi. Chiusura ed interno di un insieme. Proprietà. Punti di accumulazione e di frontiera. Costruzione di una topologia da una base e da una base di intorni. La retta di Sorgenfrey. Il piano di Niemytzki. Confronto di topologie. Spazi metrizzabili. Funzioni continue. Sottospazi topologici. Spazi secondo numerabili. Spazi primo numerabili. Spazi separabili. Spazi topologici linearmente ordinali. La retta di Sorgenfrey come sottospazio di uno spazio topologico linearmente ordinato. 2. "Gli assiomi di separazione." Gli assiomi di separazione Ti, con i=0,1,2,21/2, 3,31/2, 4,5,6. Proprietà, caratterizzazioni, esempi e controesempi. 3. "Prodotti e quozienti." Topologie definite mediante famiglie di funzioni. Prodotto di spazi topologici. Prodotto di una famiglia infinita di spazi. Spazi quoziente. La circonferenza, il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Kleine, gli spazi proiettivi reale e complesso come rappresentazione di spazi quoziente. 4. "Spazi connessi e connessi per archi." Definizione, esempi e prime proprietà. Il prodotto di spazi connessi è connesso se e solo se lo sono tutti gli spazi fattore. Teorema del valore intermedio. Teorema del punto fisso. Teorema di Borsuk-Ulam. Componente connessa di x in X. Spazi totalmente sconnessi. Spazi connessi per archi. Un aperto di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi. Il prodotto di spazi è connesso per archi se e solo se lo solo tutti gli spazi fattori. Il seno del topologo. 5. "Spazi compatti." Definizione, esempi e caratterizzazione della compattezza mediante famiglie di sottoinsiemi con la proprietà dell’intersezione finita. Ogni spazio compatto di Hausdorff è normale. I sottospazi compatti della retta reale sono tutti e solo i sottospazi chiusi e limitati.Teorema di Kuratowski. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Un sottospazio di R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Teorema di Tychonoff. Topologia prodotto box. Teorema di immersione. Uno spazio X è completamente regolare se e solo se esiste uno spazio compatto di Hausdorff avente un sottospazio omeomorfo a X. Teorema di metrizzazione di Alexandroff-Urysohn. Compattificazioni di uno spazio. Uno spazio è compattificabile se e solo se è completamente regolare. Ordinameto parziale sull’insieme di tutte le compattificazioni di uno spazio di Tychonoff. Spazi localmente compatti. La compatificazione di Aleksandrof e la compattificazione di Stone-Cech. La compattificazione di Aleksandrof della retta reale, di Rn, dell’iperbole equilatera e della parabola. Teorema di Stone. Spazi metrici completi. Spazi metrici totalmente limitati.

Course Syllabus

1. "Topological spaces." Definition and examples. Closure and iterior of a set. Accumulation and border point. Construction of a topology from a base and a neighborhoods fundamental system. Sorgenfrey line. Niemytzki plane. Metrizable spaces. Continuous mappings. Subspaces. First and second countable spaces. Separable spaces. Linearly ordered topological spaces. Sorgenfrey line as a subspace of a linearly ordered topological space. 2. "Separation axioms." Separation axioms Ti, i=0,1,2,21/2, 3,31/2, 4,5,6. Properties, characterizazions, examples and counterexamples. 3. "Product and quotient spaces." Topologies defined by families of mappings. Product of topological spaces. Products of an infinite family of spaces. Quotient space. The circle, the cilinder, the torus, Moebius strip, Kleine bottle, the real and complex proiective spaces. 4. "Connected and arcwise connected spaces." Definition, examples and basic properties. The product of spaces is connected iff each space is connected. Intermediate value theorem. Fixed point theorem. Borsuk-Ulam theorem. Connected component of x in X. Totally disconnected spaces. Arcwise connected spaces. An open of R^n is connected iff it is arcwise connected. The product of spaces is arcwise connected iff each space i arcwise connected. The topologist sin curve. 5. "Compact spaces." Definition, examples and characterization of compactness by families of subsets having finite intersection property. Every compact Hausdorff space is normal. The only compact subspaces of real line are closed and bounded subspaces. Kuratowski theorem. Heine-Borel theorem. Bolzano-Weierstrass theorem. A subspace of R^n is compact iff is closed and bounded. Tychonoff theorem. Box topology. Embedding theorem. A space X is completely regular iff there exists a compact Hausdorff space having a subspace homeomorphic to X. Alexandroff-Urysohn metrization theorem. Compactifications of a space. A space is compactificable iff it is completely regular. Partial order on the set of all compactification of a space.Locally compact spaces. Aleksandrof and Stone-Cech compactifications. Aleksandrof compactification of real line, of R^n, of equilateral hyplerbole and of parabola. Stone theorem. Metric complete spaces. Metric totally bouded spaces.