Obiettivi Formativi

Conoscenza degli elementi fondamentali della teoria di: successioni e serie di funzioni, spazi metrici, calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili, integrazione curvilinea di funzioni e forme differenziali, integrazione su superfici ed equazioni differenziali ordinarie.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. E' previsto l'utilizzo di materiale che verrà proiettato in video, e messo a disposizione degli studenti da parte del docente.

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di Analisi Matematica I e degli elementi di base di geometria analitica

Verifiche dell'apprendimento

Prova orale finale, che verterà sia sugli argomenti trattati nelle lezioni teoriche che su quelli trattati nelle esercitazioni. La valutazione finale terrà conto in egual misura di entrambi gli aspetti (teoria ed esercitazioni), e verranno valutati il  grado di preparazione raggiunto (conoscenza e comprensione degli argomenti e capacità di calcolo acquisite), la proprietà di linguaggio e la capacità espositiva rispetto agli argomenti trattati, il grado di padronanza degli argomenti trattati e degli strumenti di calcolo acquisiti.

Programma del Corso

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI: Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi sulla convergenza uniforme. Serie di funzioni. convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teoremi sulla convergenza uniforme. Serie di potenze. Raggio di convergenza e intervallo di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor di alcune funzioni notevoli. SPAZI METRICI: Spazi metrici. Topologia di uno spazio metrico. Successioni. Funzioni continue. Limiti. Spazi metrici completi. Funzioni Lipschitziane. Punti fissi. Teorema delle contrazioni. Spazi metrici compatti. Funzioni uniformemente continue. Metriche equivalenti. Connessione. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI: Funzioni di più variabili reali: limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità. Funzioni omogenee. Formula di Taylor. Estremi locali ed assoluti. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Integrali dipendenti da parametri. Derivate direzionali. CURVE E FORME DIFFERENZIALI: Curve in R^2 e in R^3. Curve regolari e regolari a tratti. Vettore e versore tangente ad una curva. Versore normale. Equazione polare e cartesiana di una curva piana. Curve rettificabili. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.  Forme differenziali lineari e loro integrale curvilineo. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse e loro integrabilità. Forme differenziali omogenee. INTEGRALI MULTIPLI: Integrabilità secondo Riemann per una funzione reale su un dominio normale del piano. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Domini regolari. Formule di Gauss-Green nel piano. Teoremi della divergenza e di Stokes nel piano. Formula di integrazione per parti e calcolo dell'area di un dominio regolare. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrale di Riemann per funzioni di tre variabili. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan in R^n e sull'integrale di Riemann in R^n. Integrale generalizzato. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE: Superfici in R^3. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti. Area di una superficie regolare. Superfici di rotazione. Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale. Operatori differenziali. Campi conservativi. Circuitazione di un campo vettoriale. Teoremi di Stokes e della divergenza. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Equazioni differenziali ordinarie (EDO) e problema di Cauchy. Teoremi di Peano e di Cauchy-Lipschitz per EDO di ordine uno e di ordine n. EDO lineari: teorema di esistenza e unicità. EDO lineari del primo ordine. Integrale generale di un'EDO lineare omogenea e non omogenea. EDO lineari a coefficienti costanti. Metodo di Lagrange. Risoluzione di alcuni tipi notevoli di EDO del primo ordine e di ordine superiore al primo.