Obiettivi Formativi

Gli studenti che completeranno con successo questo corso acquisiranno una conoscenza di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali ad una e piu` variabili.

Learning Goals

Upon successful completion of this course, students will acquire a basic knowledge of differential and integral calculus of real-valued functions of one or more real variables.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni teoriche frontali ed esercitazioni. Le lezioni si svolgono in aula su lavagna (classica o multimediale). Si prevedono sia esercitazioni svolte dal docente che guidate svolte dagli studenti.

Teaching Methods

Lectures and exercises in the classroom. Lectures are held in the classroom and the exhibition takes place through (classical or multimedia) boards. There are also exercises carried out by the teacher and guided exercises carried out by students with teacher support.

Prerequisiti

Conoscenza e padronanza della matematica della scuola media superiore ovvero logica, aritmetica, algebra, geometria euclidea.

Prerequisites

Knowledge and mastery of high school Mathematics which includes logic, arithmetic, algebra, Euclidean geometry.

Verifiche dell'apprendimento

Per ciascuno dei due moduli di cui si compone l'intero corso, la modalità di verifica dell’apprendimento si compone di una prova scritta (obbligatoria) e di una prova orale (facoltativa).. Il tempo assegnato per la prova scritta è di 2 ore. Gli argomenti e le difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 18/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico, entro il quale dovrà essere sostenuta l’eventuale prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l’autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l’abilità comunicativa, le proprietà di linguaggio scientifico e, quindi, di valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e dell’eventuale esito della prova orale. Durante lo svolgimento del corso è prevista una prova scritta in itinere per ciascun modulo. Il superamento della prova in itinere di ciascun modulo implica l’esonero dalla prova scritta del modulo corrispondente. Tali prove si svolgono alla fine del periodo delle lezioni (in date concordate con gli studenti). Le prove prevedono lo svolgimento di esercizi sugli argomenti trattati nei rispettivi corsiOgni prova in itinere si ritiene superata se il voto è non inferiore a 18/30. Durante le prove scritte e le prove in itinere è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare dei formulari

Assessment

For each of the two modules constituting the whole course, the exam consists of a written test (mandatory) and an oral test (optional). The time allotted for the written test is two hours. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 18/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course (definitions, relevant examples, theorems, applications, links between the various topics). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then, to evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and the optional oral exam. During the course, there is an ongoing written test for each module. Students who pass the ongoing test are exempt from the final written exam of the corresponding module. The time allotted for each ongoing test is two hours. The ongoing tests are held at the end of the whole period of lectures (on dates that are agreed during the lessons with the students). The ongoing tests include exercises on the topics covered in the related. Each ongoing test is passed if the score is equal to, or greater than, 18/30. During written and ongoing exams, the use of a calculator and of a table of formulas is permitted.

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: A000857 - CALCULUS - MOD. A ------------------------------------------------------------ Insiemi ed elementi. Sottoinsiemi. Relazioni di inclusione. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali. Numeri reali. Operazioni tra numeri reali. Relazioni d'ordine. Valore assoluto. Intervalli. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Radice n-esima aritmetica. Potenze ed esponenziali. Logaritmi. Numeri complessi. Forma algebrica. Operazioni: somma, prodotto, rapporto. Piano di Gauss. Modulo. Forma trigonometrica ed esponenziale. Potenze e radici. Geometria analitica. Equazioni e curve. Rette and piani. Coniche. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, immagine, grafico. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzioni invertibili. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzione segno, gradino di Heaviside, funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Definizione di limite. Limiti destro e sinistro ed esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Retta reale estesa e algebrizzazione parziale di "infinito". Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti. Derivata e retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Test di monotonia. Ricerca i massimi e minimi. Differenziale e approssimazione lineare. Derivata seconda. Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Primitive. Integrale indefinito. Integrali immediati. Metodi di integrazione: per parti e per sostituzione. Integrale definito. Interpretazione geometrica. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Media integrale. ------------------------------------------------------------ Modulo: A000864 - CALCULUS - MOD. B ------------------------------------------------------------ FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI: Scalari e vettori, rappresentazione intrinseca e cartesiana dei vettori. Operazioni su vettori: somma, sottrazione, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, proiezione ortogonale. Spazio euclideo R^n. Funzioni vettoriali. Funzioni reali a due e più variabili; dominio, grafico, intorno, curve di livello, limiti, continuità, derivabilità. Derivate parziali, piano tangente, operatore gradiente. Differenziabilità, derivate direzionale. Derivata di funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi assoluti e relativi di funzione di due variabili. Esempi applicativi: metodo dei minimi quadrati in ambito statistico. Ottimizzazione vincolata. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. INTEGRAZIONE MULTIPLA: Integrali doppi. Significato geometrico dell’integrale doppio. Proprietà dell’integrale doppio. Calcolo di integrali doppi su domini normali e per funzioni a variabili separabili. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari, matrice jacobiana. Esempi applicativi: calcolo baricentri di sistemi materiali. EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Equazioni differenziali ordinarie: definizione, ordine, forma normale, forma autonoma, soluzione generale, particolare e singolare, problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari (omogenee e non omogenee) e non lineari (a variabili separabili). Problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee). Metodo di somiglianza. Cenni ad esempi fisici applicativi: oscillatore elementare e circuiti elettrici RLC. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.

Course Syllabus

------------------------------------------------------------ Modulo: A000857 - CALCULUS - MOD. A ------------------------------------------------------------ Sets and elements. Subsets. Inclusion relation. Operations between sets: union, intersection, difference, complementation, Cartesian product. Natural, integer, rational, irrational numbers. Real numbers. Operations between real numbers. Order between real numbers. Absolute value. Intervals. Maximum and minimum, upper and lower bounds of a set. Arithmetic n-th root. Powers and exponentials. Logarithms. Complex numbers. Algebraic form. Operations: sum, product, ratio. Gauss plan. Modulus. Trigonometric and exponential forms. Powers and roots. Analytic geometry. Equations and curves. Lines and planes. Conic sections. Real-valued functions of a single real variable. Domain, image, graph. Compound functions. Inverse functions. Symmetric functions. Periodic functions. Simple functions: linear functions, absolute value function, sign function, Heaviside step, power functions, exponential and logarithmic functions, trigonometric functions and inverse trigonometric functions. Definition of limit. Left and right limits and existence of the limit. Calculation of limits. Extended real line and partial algebraization of "infinity". Algebra of limits. Remarkable limits. Comparison between infinites and hierarchy of infinites. Continuous functions. Discontinuity points. Asymptotes. Derivative and tangent line. Derivatives of elementary functions. Calculation rules of derivatives. Stationary points. Local maxima and minima. Monotony test. Differential and linear approximation. Second derivative. Concavity and convexity. Study of the graph of a function. Antiderivatives. Indefinite integral. Integrals of simple functions. Integration methods: by parts and by substitution. Defined integral. Geometric interpretation. Fundamental theorem of integral calculus. Mean of a function over a closed interval. ------------------------------------------------------------ Modulo: A000864 - CALCULUS - MOD. B ------------------------------------------------------------ DIFFERENTIAL CALCULUS FOR SCALAR AND VECTOR FIELDS: Scalar and vector, intrinsic and cartesian representation of vectors. Operations on vectors: sum, subtraction, product by a scalar, scalar product, vector product, mixed product, orthogonal projection. Vector functions. The Euclidean space R^n. Real-valued functions of two variables: domain, image, graph, limits, continuity, derivatives. Partial derivatives, tangent plane and gradient operator. Differentiability, directional derivatives. Derivative of a composite function. Higher-order partial derivatives. Hessian matrix. Schwarz theorem. Local and global extrema of functions of two variables. Applications to least square methods in statistics. Constrained optimization. Method of Lagrange multiplier. MULTIPLE INTEGRATION: Double integrals and their properties. Geometric interpretation of double integrals. Double integrals on intervals. Change of variables in double integrals: polar coordinates. Jacobian matrix. Applications to the calculus of center of mass of material systems. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: Ordinary differential equations: definition, order, normal form, autonomous form, general, particular and singular solution. Cauchy problem. Cauchy theorem on uniqueness and existence of solutions. Linear (homogeneous and non-homogeneous) and nonlinear (separable variables) first-order ordinary differential equations. Cauchy problem for first-order ordinary differential equations. Linear (homogeneous and non-homogeneous) second-order ordinary differential equations with constant coefficients. Similarity method. Physical applications: elementary oscillator and RLC electrical circuits. Cauchy problem for second-order ordinary differential equations.