Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti un'adeguata conoscenza e comprensione dei modelli matematici della fisica classica, fornendo i concetti di base delle formulazioni lagrangiana ed hamiltoniana della meccanica. In particolare, sono fondamentali i seguenti argomenti: Vincoli. Gradi di libertà. Coordinate lagrangiane; Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange; Principi variazionali, teoremi di conservazione e proprietà di simmetria; Equazioni del moto di Hamilton; Trasformazioni canoniche; Teoria di Hamilton-Jacobi.

Learning Goals

The aim of the course is to allow students acquire adequate knowledge and understanding of the mathematical models of classical physics, providing the basic concepts of the Lagrangian and Hamiltonian formulations of mechanics. In particular, the following topics are of fundamental importance: Constraints. Degrees of freedom. Lagrangian coordinates; D'Alembert principle and Lagrange equations; Variational principles, conservation theorems and symmetry properties; Hamilton equations of motion; Canonical transformations; Hamilton-Jacobi theory.

Metodi didattici

La metodologia didattica prevede attività di lezione frontale ed esercitazioni. Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alla meccanica Lagrangiana ed Hamiltoniana. La teoria è sempre accompagnata da esempi e dalla descrizione di applicazioni pratiche. Vengono inoltre svolti numerosi esercizi in aula.

Teaching Methods

The didactic methodology consists of frontal lectures and some practical exercitations. The course is structured in classroom lectures that illustrate the fundamental concepts related to Lagrangian and Hamiltonian mechanics. The theory is always accompanied by examples and the description of practical applications. Numerous exercises are also held in the classroom.

Prerequisiti

Conoscenza e padronanza delle leggi della meccanica classica e del calcolo vettoriale, nonché del calcolo di derivate e integrali (compresi integrali di linea).

Prerequisites

Knowledge and mastery of the laws of classical mechanics and vector calculus, as well as of calculation of derivatives and integrals (including line integrals).

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso un esame, che accerta l'acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale. La prova orale è obbligatoria. Nella prova scritta, della durata di due ore, vengono proposti due/tre quesiti. La prova orale consiste in un approfondimento orale volto ad accertare le conoscenze teoriche e la padronanza degli argomenti del corso. La valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell'esposizione in un linguaggio scientifico appropriato.

Assessment

The final examination consists of a written and oral exam both concerning the entire program.The oral exam is mandatory.The two-hour written test usually consists of two/three questions. The oral exam consists of an oral examination aimed at ascertaining the theoretical knowledge and the mastery of the course topics. The evaluation takes into account the acquired knowledge, the ability to apply the concepts studied and the exposure in an appropriate scientific language.

Programma del Corso

SISTEMI VINCOLATI: Vincoli, coordinate lagrangiane. Vincoli ideali. Relazione simbolica della dinamica. Teorema dei lavori virtuali. EQUAZIONI DI LAGRANGE: Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange. Equazioni di Lagrange nel caso conservativo. Potenziali generalizzati. Invarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni di punto nello spazio delle configurazioni. Trasformazioni di gauge. Principio variazionale di Hamilton. EQUAZIONI DI HAMILTON. Parentesi di Poisson e loro proprietà. Integrali primi di un sistema canonico. Teorema di Liouville. TRAFORMAZIONI CANONICHE: Trasformazioni che conservano la struttura canonica. Funzioni generatrici. Criteri per riconoscere la natura canonica di una trasformazione. Trasformazioni infinitesime e vicine all’identità. TEORIA DI HAMILTON-JACOBI: Equazione di Hamilton-Jacobi. Metodo di separazione delle variabili.

Course Syllabus

Constraints and generalized coordinates; D’Alembert’s Principle; Lagrange’s Equations. Variational principles. Canonical systems, symmetries and conservation laws. Canonical transformations, infinitesimal canonical transformations. Hamilton-Jacobi Theory.