Obiettivi Formativi

Il corso si pone come obiettivo l’acquisizione delle principali tecniche del calcolo differenziale ed integrale in più variabili. Lo studente apprenderà come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi di ottimizzazione per funzioni di più variabili, problemi differenziali e di calcolo integrale. Inoltre sarà capace di interpretare in modo formale ovvero attraverso modelli matematici le conoscenze chimiche e fisiche di base.

Learning Goals

The aim of the course is to provide the fundamental notions about differential and integral calculus for functions of two variables needed for the subsequent chemistry-related courses. Understanding the appropriate mathematical methods to solve optimization and differential problems.

Metodi didattici

La metodologia didattica prevede attività di lezione frontale ed esercitazioni. Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili ed a valori vettoriali. La teoria è sempre accompagnata da esempi e dalla descrizione di applicazioni pratiche. Vengono inoltre svolti numerosi esercizi in aula.

Teaching Methods

The didactic methodology consists of frontal lectures and some practical exercitations. The course is structured in classroom lectures that illustrate the fundamental concepts related to differential and integral calculus for functions of two real variables. The theory is always accompanied by examples and the description of practical applications. Numerous exercises are also held in the classroom.

Prerequisiti

Algebra lineare, matrici e sistemi lineari. Calcolo infinitesimale e differenziale per funzioni di una variabile reale.

Prerequisites

Linear algebra, matrices and linear systems. Infinitesimal and differential calculus for functions of one real variable.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso due prove intermedie ed un esame finale, che accerta l'acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale. La prova orale è obbligatoria. Nella prova scritta, della durata di due ore, vengono proposti quattro/sei esercizi. Sono esonerati dalla prova scritta gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo due prove intermedie. La prova orale consiste in un approfondimento orale volto ad accertare le conoscenze teoriche e la padronanza degli argomenti del corso. La valutazione tiene conto delle conoscenze acquisite, della capacità di applicare i concetti studiati e dell'esposizione in un linguaggio scientifico appropriato.

Assessment

The final examination consists of a written and oral exam both concerning the entire program. The oral exam is mandatory. The two-hour written test usually consists of four/six exercises. It is possible to achieve exemption from written exam through two written intermediate texts. The oral exam consists of an oral examination aimed at ascertaining the theoretical knowledge and the mastery of the course topics. The evaluation takes into account the acquired knowledge, the ability to apply the concepts studied and the exposure in an appropriate scientific language.

Programma del Corso

Rette e piani nello spazio. Vettori nel piano e nello spazio: equazioni parametriche della retta, equazione del piano. Calcolo integrale per funzioni di una variabile: Integrazione per decomposizione, sostituzione e per parti. Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del 1° ordine , equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari del 2° ordine a coefficienti costanti. Funzioni di più variabili. Limiti e continuità. Derivate parziali, piano tangente, differenziale ed approssimazione lineare. Ottimizzazione: estremi liberi e vincolati. Arco di curva continua e regolare. Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Lunghezza di un arco di curva. Integrali curvilinei di funzioni e di forme differenziali lineari. Forme differenziali esatte. Integrali doppi. Formule di integrazione sui domini normali. Cambiamento di coordinate. Formule di Green nel piano. Numeri complessi. Rappresentazione algebrica e trigonometrica, radici ennesime. Formule di Eulero.

Course Syllabus

Vectors and geometry of space: Three-dimensional coordinate systems, equations of lines and planes, surfaces. Indefinite integrals: techniques of integration. Functions of two real variables: limits and continuity, partial derivatives, critical points, Hessian, maximum and minimum values. Parametric equations and polar coordinates: curves, tangents, arc length, polar coordinates. Multiple integrals: line integrals, double integrals, change of variables in a double integrals. Green’s theorem Differential equations: Ordinary differential equations of first order. Solutions curves and Integral curves. Existence and uniqueness of solutions. Separable first order equations. Linear first order equations. Linear second order equations. Complex numbers: Cartesian and polar forms, Euler’s formula, De Moivre’s formula. Roots of a complex number.