Obiettivi Formativi

L’obiettivo del corso è l’acquisizione del linguaggio matematico e lo sviluppo della capacità logico-deduttiva di apprendimento e di elaborazione di concetti matematici di base. Il corso si propone di fornire i fondamenti del calcolo matriciale e del calcolo vettoriale nel piano e nello spazio, nonché le competenze di base nelle principali tecniche del calcolo infinitesimale e differenziale in una variabile indipendente, utili a sviluppare la capacità di costruire e di analizzare semplici modelli che descrivono fenomeni di interesse nell’ambito della Fisica e, più in particolare, della Chimica.

Learning Goals

The aim of the course is the acquisition of mathematical language and the development of the logical-deductive ability to learn and elaborate basic mathematical concepts. The course aims to provide the fundamentals of matrix calculation and vector calculation in plane and space, as well as basic skills in the main techniques of infinitesimal and differential calculus in one independent variable, useful for developing the ability to build and analyze simple models which describe phenomena of interest in the field of Physics and, more particularly, of Chemistry.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni teoriche frontali ed esercitazioni. Le lezioni si svolgono in aula su lavagna (classica o multimediale). Si prevedono sia esercitazioni svolte dal docente che guidate svolte dagli studenti.

Teaching Methods

Lectures and exercises in the classroom. Lectures are held in the classroom and the exhibition takes place through (classical or multimedia) boards. There are also exercises carried out by the teacher and guided exercises carried out by students with teacher support.

Prerequisiti

Elementi di logica e di teoria degli insiemi. Elementi di calcolo algebrico, equazioni e sistemi di equazioni, disequazioni e sistemi di disequazioni in una incognita.

Prerequisites

Elements of logic and set theory. Elements of algebraic calculus, equations and systems of equations, inequalities and systems of inequalities in one unknown.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell’apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite una prova scritta e una prova orale, obbligatorie per tutti gli studenti. Per gli studenti che frequentano regolarmente le lezioni, durante il corso verranno programmate delle verifiche scritte in itinere, finalizzate all’esonero, totale o parziale, dalla prova scritta d’esame. Per gli studenti che non frequentano regolarmente, e per quelli che non hanno svolto o non hanno superato le prove in itinere, è richiesto il superamento delle due prove d’esame, scritta e orale, sull’intero programma, da sostenere esclusivamente negli appelli d’esame ufficiali, ed entrambe obbligatoriamente nello stesso appello. La valutazione della prova scritta tiene conto anche delle argomentazioni teoriche fornite nella descrizione dello svolgimento degli esercizi. L’esame finale si considera superato qualora l’esito delle prove sostenute abbia dimostrato una conoscenza almeno sufficiente di tutti gli argomenti sviluppati durante il corso.

Assessment

The check of the skills acquired by students is carried out through a written and an oral test, which are mandatory for all students. For students who regularly attend lessons, on-going written tests will be scheduled during the course, aimed at exempting, in whole or in part, from the written final test. For students who do not attend regularly, and for those who have not done or have not passed the on-going tests, it is required to pass the exam, a written and an oral test, on the entire program, to be taken exclusively in the official exam sessions, and both mandatory within the same exam session. The evaluation of the written tests, both the on-going and the final ones, also considers the theoretical arguments provided in the description of the carrying out of the exercises. The final exam is considered passed if the results of the tests taken have showed at least sufficient knowledge of all the topics developed during the course.

Programma del Corso

Algebra lineare. Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. PROGRAMMA. Insiemi ed elementi. Sottoinsiemi. Relazioni di inclusione. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi e razionali. Numeri irrazionali: esistenza della radice quadrata di 2. Numeri reali. Numeri complessi. Operazioni tra numeri reali. Relazioni d'ordine. Valore assoluto. Intervalli. Massimo e minimo di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Radice n-esima aritmetica. Potenze ed esponenziali. Logaritmi. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante. Rango. Matrice inversa. Sistemi lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Vettori n-dimensionali. Lo spazio vettoriale R^n. Dipendenza e indipendenza lineare tra vettori. Trasformazioni lineari. Autovalori e autovettori di una matrice. Diagonalizzazione di una matrice. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, immagine, grafico. Funzioni limitate. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzione segno, gradino di Heaviside, funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche. Funzioni trigonometriche inverse. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Limiti destro e sinistro ed esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Retta reale estesa e algebrizzazione parziale di "infinito". Algebra dei limiti. Cambio di variabile nel calcolo del limite. Limiti notevoli. Confronto tra infinitesimi e approssimazioni lineari. Confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti. Continuità delle operazioni tra funzioni. Funzioni continue su intervalli chiusi e limitati: teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi. Derivata e retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Punti singolari: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Algebra delle derivate. Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat. Teorema del valore medio o di Lagrange. Test di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Teorema di de l'Hospital. Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo "o". Derivata seconda. Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Integrale definito. Interpretazione geometrica. Teorema della media. Primitive. Integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali immediati.

Course Syllabus

Linear algebra. Differential and integral calculus for real-valued functions of a single real variable. PROGRAM. Sets and elements. Subsets. Inclusion relation. Operations between sets: union, intersection, difference, complementation, Cartesian product. Natural, integer and rational numbers. Irrational numbers: existence of the square root of 2. Real numbers. Complex numbers. Operations between real numbers. Order between real numbers. Absolute value. Intervals. Maximum and minimum of a set. Upper and lower bounds of a set. Arithmetic n-th root. Powers and exponentials. Logarithms. Matrices. Operations between matrices. Determinant. Rank. Inverse matrix. Linear systems. Cramer's theorem. Rouché-Capelli theorem. N-dimensional vectors. The vector space R^n. Linear dependence between vectors. Linear transformations. Eigenvalues and eigenvectors of a matrix. Diagonalization of a matrix. Real-valued functions of a single real variable. Domain, image, graph. Limited functions. Symmetric functions. Periodic functions. Compound functions. Inverse functions. Simple functions: linear functions, absolute value function, sign function, Heaviside step, power functions, exponential and logarithmic functions, trigonometric functions. Inverse trigonometric functions. Definition of limit. Uniqueness of the limit. Left and right limits and existence of the limit. Limits calculation. Comparison theorem. Theorem of the permanence of the sign. Extended real line and partial algebraization of "infinity". Algebra of limits. Change of variable in the calculation of limits. Remarkable limits. Comparison between infinitesimals and approximations. Comparison between infinites and hierarchy of infinites. Continuous functions. Discontinuity points. Asymptotes. Continuity of operations between functions. Continuous functions on closed intervals: zero theorem, Weierstrass theorem, intermediate value theorem. Derivative and tangent line. Derivatives of simple functions. Singular points: angular points, cusps, flexes with vertical tangent. Algebra of derivatives, derivative of compound and inverse functions. Stationary points. Local extrema. Fermat's theorem. Mean value theorem or Lagrange theorem. Monotony test. Characterization of zero derivative functions. De l'Hospital theorem. Differential and linear approximation. The symbol "o". Second derivative. Concavity and convexity. Study of the graph of a function. Defined integral. Geometric interpretation. Mean of a function over a closed interval. Primitive functions. Indefinite integral. Fundamental theorem of integral calculus. Integrals of simple functions.