Obiettivi Formativi

L’obiettivo del corso è l’acquisizione del linguaggio matematico e lo sviluppo della capacità logico-deduttiva di apprendimento e di elaborazione di concetti matematici di base. Il corso si propone di fornire i fondamenti del calcolo matriciale e del calcolo vettoriale nel piano e nello spazio, nonché le competenze di base nelle principali tecniche del calcolo infinitesimale e differenziale in una variabile indipendente, utili a sviluppare la capacità di costruire e di analizzare semplici modelli che descrivono fenomeni di interesse nell’ambito della Fisica e, più in particolare, della Chimica.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni teoriche frontali ed esercitazioni. Le lezioni si svolgono in aula su lavagna (classica o multimediale). Si prevedono sia esercitazioni svolte dal docente che guidate svolte dagli studenti.

Prerequisiti

Elementi di logica e di teoria degli insiemi. Elementi di calcolo algebrico, equazioni e sistemi di equazioni, disequazioni e sistemi di disequazioni in una incognita.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell’apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite una prova scritta e una prova orale, obbligatorie per tutti gli studenti. Per gli studenti che frequentano regolarmente le lezioni, durante il corso verranno programmate delle verifiche scritte in itinere, finalizzate all’esonero, totale o parziale, dalla prova scritta d’esame. Per gli studenti che non frequentano regolarmente, e per quelli che non hanno svolto o non hanno superato le prove in itinere, è richiesto il superamento delle due prove d’esame, scritta e orale, sull’intero programma, da sostenere esclusivamente negli appelli d’esame ufficiali, ed entrambe obbligatoriamente nello stesso appello. La valutazione della prova scritta tiene conto anche delle argomentazioni teoriche fornite nella descrizione dello svolgimento degli esercizi. L’esame finale si considera superato qualora l’esito delle prove sostenute abbia dimostrato una conoscenza almeno sufficiente di tutti gli argomenti sviluppati durante il corso.

Programma del Corso

Algebra lineare. Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. PROGRAMMA. Insiemi ed elementi. Sottoinsiemi. Relazioni di inclusione. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi e razionali. Numeri irrazionali: esistenza della radice quadrata di 2. Numeri reali. Numeri complessi. Operazioni tra numeri reali. Relazioni d'ordine. Valore assoluto. Intervalli. Massimo e minimo di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Radice n-esima aritmetica. Potenze ed esponenziali. Logaritmi. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante. Rango. Matrice inversa. Sistemi lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Vettori n-dimensionali. Lo spazio vettoriale R^n. Dipendenza e indipendenza lineare tra vettori. Trasformazioni lineari. Autovalori e autovettori di una matrice. Diagonalizzazione di una matrice. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, immagine, grafico. Funzioni limitate. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche. Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzione segno, gradino di Heaviside, funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche. Funzioni trigonometriche inverse. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Limiti destro e sinistro ed esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Retta reale estesa e algebrizzazione parziale di "infinito". Algebra dei limiti. Cambio di variabile nel calcolo del limite. Limiti notevoli. Confronto tra infinitesimi e approssimazioni lineari. Confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti. Continuità delle operazioni tra funzioni. Funzioni continue su intervalli chiusi e limitati: teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi. Derivata e retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Punti singolari: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Algebra delle derivate. Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat. Teorema del valore medio o di Lagrange. Test di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Teorema di de l'Hospital. Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo "o". Derivata seconda. Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Integrale definito. Interpretazione geometrica. Teorema della media. Primitive. Integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali immediati.