Offerta Didattica

 

MATEMATICA

ANALISI SUPERIORE

Classe di corso: LM-40 - Matematica
AA: 2022/2023
Sedi: MESSINA
SSDTAFtipologiafrequenzamoduli
MAT/05Affine/IntegrativaLiberaLiberaNo
CFUCFU LEZCFU LABCFU ESEOREORE LEZORE LABORE ESE
64024824024
Legenda
CFU: n. crediti dell’insegnamento
CFU LEZ: n. cfu di lezione in aula
CFU LAB: n. cfu di laboratorio
CFU ESE: n. cfu di esercitazione
FREQUENZA:Libera/Obbligatoria
MODULI:SI - L'insegnamento prevede la suddivisione in moduli, NO - non sono previsti moduli
ORE: n. ore programmate
ORE LEZ: n. ore programmate di lezione in aula
ORE LAB: n. ore programmate di laboratorio
ORE ESE: n. ore programmate di esercitazione
SSD:sigla del settore scientifico disciplinare dell’insegnamento
TAF:sigla della tipologia di attività formativa
TIPOLOGIA:LEZ - lezioni frontali, ESE - esercitazioni, LAB - laboratorio

Obiettivi Formativi

Acquisizione degli strumenti e dei risultati fondamentali della teoria degli operatori compatti e dei metodi variazionali con applicazioni alle equazioni differenziali.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica con particolare riferimento a: successioni e serie di funzioni, topologia generale, teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue, teoria degli spazi normati, equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento consiste in una singola prova orale. Principali elementi di valutazione sono i seguenti: padronanza dei contenuti, chiarezza e rigore nell'esposizione, capacità di applicazione delle conoscenze acquisite.

Programma del Corso

1) Disequazioni variazionali Generalità sulle disequazioni variazionali. Teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram. 2) Operatori compatti e decomposizione spettrale Lemma di Riesz. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Supplementari topologici ed esempi notevoli. Ortogonalità negli spazi di Banach. Operatori lineari non limitati. Nucleo, rango e grafico di un operatore. Aggiunto di un operatore e sue proprietà. Operatori compatti. Teorema di Schauder sull’operatore aggiunto. La teoria di Riesz-Fredholm. Risolvente, spettro e autovalori di un operatore. Spettro di un operatore compatto. Operatori lineari autoaggiunti su spazi di Hilbert. Operatori simmetrici. Decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert. 3) Il teorema di Hille-Yosida Derivabilità di funzioni definite in un intervallo reale e a valori in uno spazio di Banach. Derivabilità del prodotto e della funzione composta. Teorema di Lagrange per funzioni a valori in uno spazio di Banach. Integrale di Riemann di una funzione a valori in uno spazio di Banach e sue proprietà. Lemma di Gronwall. Teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard. Operatori massimali monotoni e loro proprietà. Risolvente e regolarizzata Yosida di un operatore massimale monotono e loro proprietà. Teorema di Hille-Yosida. Autoaggiunto di un operatore non limitato su uno spazio di Hilbert. Teorema di Hille-Yosida per un operatore non limitato autoaggiunto su uno spazio di Hilbert. 4) Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di un problema ai limiti Introduzione ai metodi variazionali e motivazioni della formulazione variazionale di un problema. Derivabilità nel senso di Gâteaux e nel senso di Fréchet. Immersioni tra spazi normati. Funzioni coercive. Teorema di ottimizzazione per funzioni coercive definite su spazi di Banach riflessivi. Lo spazio di Sobolev W1,p(]a,b[). Completezza, riflessività e separabilità di W1,p(]a,b[). Spazio delle funzioni Hölderiane. Teorema di immersione. Lo spazio W01,p(]a,b[). Disuguaglianza di Poincaré. Studio di un problema ordinario ai limiti del secondo ordine. Gli spazi di Sobolev W1,p e W01,p in dimensione n: completezza, riflessività, separabilità e immersioni. Operatore p-laplaciano. Studio di un problema di Dirichlet coinvolgente il p-laplaciano.

Testi di riferimento: Haim Brezis, Analisi funzionale, Liguori Editore, 1986

Elenco delle unità didattiche costituenti l'insegnamento

Docente: GIOVANNI ANELLO

Orario di Ricevimento - GIOVANNI ANELLO

GiornoOra inizioOra fineLuogo
Lunedì 09:00 11:00modalità telematica mediante piattaforma MS Teams
Martedì 09:00 11:00modalità telematica mediante piattaforma MS Teams
Note:
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