Obiettivi Formativi

Acquisizione degli strumenti e dei risultati fondamentali della teoria degli operatori compatti e dei metodi variazionali con applicazioni alle equazioni differenziali.

Learning Goals

Acquisition of the fundamental notions and results of compact operator theory and of variational methods with applications to differential equations.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni

Teaching Methods

Lectures and tutorials

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica con particolare riferimento a: successioni e serie di funzioni, topologia generale, teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue, teoria degli spazi normati, equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

Prerequisites

Knowledge of calculus with particular reference to: sequences and series of functions, general topology, Lebesgue measure and integration theory, normed space theory, ordinary and partial differential equations.

Verifiche dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento consiste in una singola prova orale. Principali elementi di valutazione sono i seguenti: padronanza dei contenuti, chiarezza e rigore nell'esposizione, capacità di applicazione delle conoscenze acquisite.

Assessment

The verification of learning consists in a single oral test. The following items are taking into account for the assesment: the mastery of content knowledge, the clarity and accuracy of the exposition, the ability to apply knowledge and understanding.

Programma del Corso

1) Disequazioni variazionali Generalità sulle disequazioni variazionali. Teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram. 2) Operatori compatti e decomposizione spettrale Lemma di Riesz. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Supplementari topologici ed esempi notevoli. Ortogonalità negli spazi di Banach. Operatori lineari non limitati. Nucleo, rango e grafico di un operatore. Aggiunto di un operatore e sue proprietà. Operatori compatti. Teorema di Schauder sull’operatore aggiunto. La teoria di Riesz-Fredholm. Risolvente, spettro e autovalori di un operatore. Spettro di un operatore compatto. Operatori lineari autoaggiunti su spazi di Hilbert. Operatori simmetrici. Decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert. 3) Il teorema di Hille-Yosida Derivabilità di funzioni definite in un intervallo reale e a valori in uno spazio di Banach. Derivabilità del prodotto e della funzione composta. Teorema di Lagrange per funzioni a valori in uno spazio di Banach. Integrale di Riemann di una funzione a valori in uno spazio di Banach e sue proprietà. Lemma di Gronwall. Teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard. Operatori massimali monotoni e loro proprietà. Risolvente e regolarizzata Yosida di un operatore massimale monotono e loro proprietà. Teorema di Hille-Yosida. Autoaggiunto di un operatore non limitato su uno spazio di Hilbert. Teorema di Hille-Yosida per un operatore non limitato autoaggiunto su uno spazio di Hilbert. 4) Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di un problema ai limiti Introduzione ai metodi variazionali e motivazioni della formulazione variazionale di un problema. Derivabilità nel senso di Gâteaux e nel senso di Fréchet. Immersioni tra spazi normati. Funzioni coercive. Teorema di ottimizzazione per funzioni coercive definite su spazi di Banach riflessivi. Lo spazio di Sobolev W1,p(]a,b[). Completezza, riflessività e separabilità di W1,p(]a,b[). Spazio delle funzioni Hölderiane. Teorema di immersione. Lo spazio W01,p(]a,b[). Disuguaglianza di Poincaré. Studio di un problema ordinario ai limiti del secondo ordine. Gli spazi di Sobolev W1,p e W01,p in dimensione n: completezza, riflessività, separabilità e immersioni. Operatore p-laplaciano. Studio di un problema di Dirichlet coinvolgente il p-laplaciano.

Course Syllabus

1) Variational inequalities: General concepts. Stampacchia and Lax-Milgram Theorem. 2) Compact operators and spectral decomposition. Riesz' Lemma on the characterization of finite dimensional normed space. Topologic supplement and examples. Orthogonality in Banach spaces. Unbounded linear operators. Kernel, range, and graph of a linear operator. Adjoint operators and related properties. Compact operators. Schauder teorem on the adjoint operator. Riesz-Fredholm theory, spectrum and eigenvalue of a linear operator. Spectrum of a compact operator. Self-adjoint operators in Hilbert spaces. Symmetric operators, spectral decomposition of compact self-adjoint operators on Hilbert spaces. 3) The Hille-Yosida theorem. Functions of one real variable taking values in a Banach space: differentiability, differetiability of product and composition of functions, Lagrange Theorem, Riemann integral. Gronwall Lemma. Cauchy-Lipschitz-Picard Theorem. Maximal monotone operators and related properties. Resolvent and Yosida regularization of a maximal monotone operator and related properties. Hille-Yosida Theorem. Self-adjoint of an unbounded linear operator in a Hilbert space. 4) Sobolev spaces and variational formulation of boundary value problems. Gâteaux and Fréchet derivative. Immersions of a normed space in another one. Coercive functions and optimiztion theorem for coercive functions on reflexive spaces. Sobolev space W^1,p(]a,b[): completeness, reflexivity and separability properties. The space of Holderian functions. Immertion Theorem. The space W01,p(]a,b[). Poincaré inequality. Boundary value problems for second order differential equations. n dimensional Sobolev space W^1,p and W_0^1,p: completeness, reflexivity and separability properties. Immersion Theorems. p-laplacian operator. A Dirichlet problem involving the p-laplacian.