Obiettivi Formativi

Comprensione dei principali strumenti matematici, locali e globali, analitici e geometrici, necessari allo studio dei modelli meccanici e biologici descritti da equazioni e sistemi differenziali ordinari. Studio dei principali modelli di evoluzione di una o più popolazioni interagenti, sia nell’ambito discreto che nel continuo. Modellizzazione di fenomeni fisici, biologici e medici.

Learning Goals

Understanding of mathematical tools, local and global, analytical and geometric necessary for the study of the mechanical and biological models described by ordinary differential equations. Study of the main dynamic models of one or more interacting populations, both discrete and continuous. Ability to mathematical modeling of simple phenomena.

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni teoriche.

Teaching Methods

The course includes theoretical lectures.

Prerequisiti

Algebra lineare, calcolo differenziale e integrale, metodi di risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti.

Prerequisites

Linear algebra, differential and integral calculus, solution methods for linear ordinary differential equations with constant coefficients.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale per verificare la conoscenza delle definizioni e dei risultati di base della teoria.

Assessment

Oral exam to verify the knowledge and understanding of the basic definitions and theorems of calculus.

Programma del Corso

MODELLI PER UNA SINGOLA SPECIE. Modelli di popolazione continua. Crescita esponenziale Modello logistico. Effetto Allee. Equazione logistica in epidemiologia. Modelli di popolazione con prelievo (harvesting). Modelli di popolazione discreti. Modelli lineari. Analisi dell’equilibrio. Modelli continui e discreti con ritardo. MODELLI CONTINUI PER POPOLAZIONI INTERAGENTI. Equazione di Lotka-Volterra. Equilibri e linearizzazione. Comportamento qualitativo delle soluzioni nei sistemi lineari. Soluzioni periodiche e cicli limite. Modelli continui per due popolazioni interagenti. Specie in competizione. Sistemi preda-predatore. Modelli di Kolmogorov. Mutualismo. Interazione tra specie. Specie invadenti e coesistenza. Modelli per due specie con prelievo. Modelli di ecosistemi chiusi. MODELLI DI POPOLAZIONI CON STRUTTURA. Modelli discreti lineari. Modelli continui lineari. Modelli di popolazioni strutturate per età. MODELLI DI TRASMISSIONE DELLE MALATTIE. Modello delle epidemie. Modelli più complicati delle epidemie (modelli con trattamento, modello dell’influenza, modello con isolamento e quarantena). Modelli per malattie endemiche. Un modello per malattie senza immunità (SI). Modello con immunità temporanea (SI(R)). AIDS: Modello di trasmissione del virus HIV. Modello con ritardo per l’infezione HIV con terapia farmacologica.

Course Syllabus

MODELS FOR A SINGLE SPECIES. Continuous population patterns. Exponential growth Logistic model. Allee effect. Logistic equation in epidemiology. Population models with collection (harvesting). Discrete population models. Linear models. Balance analysis. Continuous and discrete models with delay. CONTINUOUS MODELS FOR INTERACTIVE POPULATIONS. Lotka-Volterra equation. Equilibrium and linearization. Qualitative behavior of solutions in linear systems. Periodic solutions and limit cycles. Continuous models for two interacting populations. Species in competition. Prey-predator systems. Kolmogorov models. Mutualismo. Interaction between species. Invasive species and coexistence. Models for two species with withdrawal. Models of closed ecosystems. MODELS OF POPULATIONS WITH STRUCTURE. Discrete linear models. Linear continuous models. Patterns of populations structured by age. MODELS OF TRANSMISSION OF DISEASES. Model of epidemics. More complicated patterns of epidemics (treatment models, influenza model, isolation and quarantine model). Models for endemic diseases. A model for diseases without immunity (SI). Model with temporary immunity (SI (R)). AIDS: Model of transmission of HIV. Model with delay for HIV infection with drug therapy.