Obiettivi Formativi

Conoscenza di metodi e tecniche per lo studio qualitativo e quantitativo di sistemi dinamici lineari e non lineari continui e di mappe discrete. Conoscenza della teoria dei gruppi di Lie di trasformazioni e della loro generalizzazione per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Conoscenza dell'uso di sistemi di calcolo scientifico simbolico e numerico.

Learning Goals

Knowledge of methods and techniques for the qualitative and quantitative study of continuous linear and nonlinear dynamical systems and discrete maps. Knowledge of the theory of Lie groups of transformations and of their generalizations for the study of ordinary and partial differential equations. Knowledge of the use of symbolic and numerical scientific computation tools.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni con l'ausilio di strumenti simbolici e numerici di calcolo scientifico.

Teaching Methods

Theoretical lectures and exercitations with the aid of symbolic and numeric software tools.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale di funzioni di variabili reali. Algebra lineare. Strutture algebriche (gruppi, campi, spazi vettoriali, algebre).

Prerequisites

Differential and integral calculus of functions of real variables. Linear algebra. Algebraic structures (groups, fields, vector spaces, algebras).

Verifiche dell'apprendimento

Stesura di una tesina su argomenti assegnati dal docente accompagnata da un esame orale.

Assessment

Draft of a short paper on topics assigned by the teacher accompanied by an oral exam.

Programma del Corso

Sistemi di equazioni differenziali lineari. Richiami di algebra lineare di base: matrici e operatori, sottospazi, basi e dimensione, cambiamenti di basi e coordinate. Spazi vettoriali complessi. Operatori reali con autovalori complessi. Riassunto della topologia di R^n. Esponenziale di operatori. Sistemi lineari omogenei. Sistemi non omogenei. La decomposizione primaria. La decomposizione S+N. Calcolo diretto di exp(At). Decomposizione canonica ed equazioni differenziali. Operatori contrattivi ed espansivi. Pozzi e sorgenti. Flussi iperbolici. Esistenza e unicità della soluzione. Continuità delle soluzioni dai dati iniziali. Continuazione delle soluzioni. Stabilità dei punti di equilibrio. Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio. Pozzi non lineari. Stabilità. Funzione di Liapunov. Equazioni differenziali con autovalori reali e distinti. Autovalori complessi. Autospazi e varietà invarianti. Costruzione analitica delle varietà stabile e instabile. Biforcazioni dei sistemi continui. Biforcazioni dei punti fissi. Biforcazioni statiche. Biforcazione di Hopf. Forme normali per le biforcazioni. Riduzione sulla varietà centrale. Equazioni differenziali dei circuiti elettrici. Equazione di Van der Pol. Metodi asintotici: Poincaré, Lindstedt, scale multiple. Soluzioni periodiche. Teoria di Floquet. Varietà delle soluzioni periodiche. Mappe di Poincaré. Biforcazioni delle soluzioni periodiche. Biforcazione per rottura di simmetria. Biforcazione ciclica ripiegata. Biforcazione transcritica. Biforcazione di raddoppio del periodo. Biforcazione di Hopf secondaria o di Neimark. Sistemi dinamici discreti. Punti fissi, orbite periodiche e loro stabilità. Soluzioni caotiche.Mappe Unidimensionali. Esponente di Liapunov in una dimensione. Mappa logistica. Mappe bidimensionali. Mappa di Henon. Esponenti di Liapunov di mappe discrete. Calcolo numerico degli esponenti di Liapunov. I sistemi di Lorenz, Rossler e Chua. Esponenti di Liapunov dei sistemi continui. Gruppi continui di trasformazioni. Algebre di Lie. Algebre abeliane, risolvibili, semisemplici. Sottoalgebre di Lie. Gruppi di trasformazioni infinitesime. Operatori infinitesimi. Teoremi fondamentali di Lie. Equazioni di Lie. Invarianti, variabili canoniche. Teoria geometrica delle equazioni differenziali. Richiami di geometria differenziale. Varietà differenziabili. Spazio dei getti. Simmetrie di Lie di equazioni differenziali. Prolungamento dei gruppi di Lie. Algoritmo di Lie. Invarianti differenziali. Simmetrie di Lie ed equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine. Determinazione del fattore integrante. Equazioni differenziali di ordine superiore. Determinazione delle simmetrie. Struttura dell'algebra delle simmetrie. Abbassamento dell'ordine con le variabili canoniche e con gli invarianti differenziali. Esempi e applicazioni. Determinazione delle simmetrie di Lie per equazioni a derivate parziali. Condizioni di superficie invariante. Soluzioni invarianti. Esempi ed applicazioni (equazioni lineari e non lineari delle onde e del calore, equazioni di Eulero della gas-dinamica, equazioni della magnetofluidodinamica, equazioni di Burgers, Korteweg-deVries e generalizzazioni). Trasformazione di equazioni differenziali a derivate parziali in forma autonoma, lineare, in forma autonoma e quasilineare omogenea. Principali teoremi ed applicazioni.  Simmetrie non classiche e condizionali: teoria ed applicazioni. Simmetrie variazionali: teorema di Noether. Trasformazioni di equivalenza. Software di calcolo simbolico per lo studio delle simmetrie di Lie di equazioni differenziali.

Course Syllabus

Systems of linear differential equations. Review of basic linear algebra: matrices and operators, subspaces, bases and dimensions, changes of bases and coordinates. Complex vector spaces. Real operators with complex eigenvalues. Summary of the topology of R^n. Exponential of operators. Homogeneous linear systems. Non homogeneous systems. Primary decomposition. The S+N decomposition. Direct calculation of exp(At). Canonical decomposition and differential equations. Contractive and expansive operators. Sinks and sources. Hyperbolic flows. Existence and uniqueness of the solution. Continuity of solutions from initial data. Continuation of solutions. Stability of equilibrium points. Linearization around an equilibrium solution. Nonlinear sinks. Stability. Liapunov function. Differential equations with real and distinct eigenvalues. Complex eigenvalues. Autospaces and invariant manifolds. Analytical construction of stable and unstable manifolds. Bifurcations of continuous systems. Bifurcations of fixed points. Static bifurcations. Bifurcation of Hopf. Normal forms for bifurcations. Reduction on the center manifold. Differential equations of electrical circuits. Van der Pol equation. Asymptotic methods: Poincaré and Lindstedt methods, multiple scale method. Periodic solutions. Floquet theory. Manifolds of periodic solutions. Poincaré maps. Bifurcations of periodic solutions. Bifurcation due to symmetry breaking. Cyclic bifurcation folded. Transcritical bifurcation. Doubling period bifurcation. Secondary Hopf bifurcation (Neimark). Discrete dynamical systems. Fixed points, periodic orbits and their stability. Chaotic solutions. One-dimensional maps. Liapunov exponent in one dimension. Logistic map. Two-dimensional maps. Henon map. Liapunov exponents of discrete maps. Numerical calculation of Liapunov exponents. Lorenz, Rossler and Chua systems. Liapunov exponents of continuous systems. Continuous groups of transformations. Lie algebras. Abelian, solvable, semisimple algebras. Lie subalgebras. Groups of infinitesimal transformations. Infinitesimal operators. Fundamental Lie theorems. Lie equations. Invariants, canonical variables. Geometric theory of differential equations. Elements of differential geometry of differential equations. Differentiable manifolds. Jet spaces. Lie symmetries of differential equations. Prolongation of Lie groups. Lie algorithm. Differential invariants.  Lie symmetries and ordinary differential equations. First order equations. Determination of the integral factor. Higher order differential equations. Determination of symmetries. Structure of the algebra of symmetries. Lowering of the order with the canonical variables and with the differential invariants. Examples and applications.  Determination of Lie symmetries for partial derivative equations. Invariant surface conditions. Invariant solutions. Examples and applications (linear and non-linear heat and wave equations, Euler equations of gas-dynamics, magnetofluid dynamics equations, Burgers equations, Korteweg-deVries and generalizations). Transformation of partial differential equations: autonomous, linear, autonomous and quasilinear homogeneous. Main theorems and applications. Non-classical and conditional symmetries: theory and applications. Variational symmetries: Noether theorem. Equivalence transformations. Use of computer algebra packages for symmetry analysis of differential equations.