Obiettivi Formativi

Metodologie avanzate per lo studio di problemi classici della fisica matematica e lo studio di fenomeni di propagazione e trasporto.

Learning Goals

Advanced methodologies for the study of classical problems of mathematical physics and the study of propagation and transport phenomena.

Metodi didattici

Lezioni frontali con esercitazioni. Uso di presentazioni in Beamer.

Teaching Methods

Lectures with exercises. Slides

Prerequisiti

Conoscenze fondamentali di analisi matematica, geometria, meccanica razionale e dei continui, e di elementi di analisi funzionale.

Prerequisites

Calculus, geometry, rational mechanics and continuum mechanics. Elements of functional analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale. Il colloquio è finalizzato a verificare le conoscenze dello studente, la sua proprietà di linguaggio e la sua capacità logico-deduttiva.

Assessment

Oral examination. The interview is aimed at verifying the student's knowledge, his property of language and his logical-deductive ability.

Programma del Corso

------------------------------------------------------------ Modulo: 8197/1 - PROPAGAZIONE E TRASPORTO NEI MEZZI CONTINUI - MOD.A ------------------------------------------------------------ EQUAZIONI DIFFERENZIALI A DERIVATE PARZIALI. Classificazione EDP del primo ordine. Curve caratteristiche e problema di Cauchy per EDP quasi-lineari. Equazioni del secondo ordine lineari, classificazione e riduzione a forma canonica. Buona posizione del problema di Cauchy, teorema di Cauchy-Kowaleski. EQUAZIONI CLASSICHE DELLA FISICA MATEMATICA.Equazione delle onde. Equazione della corda vibrante su domini limitati, metodo di Fourier. Equazione della corda vibrante su domini illimitati, formula di D’Alembert. Principio di Duhamel. Equazione delle onde in due e tre dimensioni. Metodo di Riemann per la soluzione delle EDP lineari del secondo ordine di tipo iperbolico.Equazione del calore. Principi di massimo. Soluzioni particolari del problema uni-dimensionale. Funzione di Green, Funzione di Neumann. Equazione di Laplace/Poisson. Problemi di Dirichlet, Neumann. Funzioni armoniche. Soluzione fondamentale. Soluzione dei problemi di Laplace/Dirichlet, Laplace/Neumann. SISTEMI 2x2 QUASI-LINEARI IPERBOLICI Teorema di riduzione. Trasformazione odografa, variabili di Riemann. Studio interazioni tra onde semplici. ------------------------------------------------------------ Modulo: 8197/2 - PROPAGAZIONE E TRASPORTO NEI MEZZI CONTINUI - MOD.B ------------------------------------------------------------ EDP del primo ordine non lineari, problema di Cauchy. Leggi scalari di conservazione. Soluzioni classiche e deboli. Onde d’urto. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Problema di Riemann. Onde di rarefazione. Condizione di Entropia. Condizione di Oleinik. Problema di Riemann per flussi veicolari. Sistemi quasi lineari iperbolici. Definizione. Esempi: fluidi ideali, conduttore rigido del calore, mezzi termoelastici. Formulazione del problema di Cauchy per sistemi con due variabili indipendenti. Buona posizione e curve caratteristiche. Soluzione generale dei sistemi lineari. Onde semplici. Invarianti di Riemann generalizzati. Vincoli differenziali e onde semplici generalizzate. Calcolo delle onde semplici per i fluidi ideali. Onde eccezionali. Sistemi di leggi di conservazione. Leggi supplementari, campo principale e forma simmetrica. Soluzioni classiche e deboli. Onde d’urto. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Urti forti e deboli. Urti caratteristici. Curve di Hugoniot. Condizioni di Lax. Criterio di Entropia. Urti in gas-dinamica. Problema di Riemann per il p-sistema. Onde di discontinuità. Sistema di Bernoulli per l’evoluzione dell’ampiezza d’onda, tempo critico.

Course Syllabus

------------------------------------------------------------ Modulo: 8197/1 - PROPAGAZIONE E TRASPORTO NEI MEZZI CONTINUI - MOD.A ------------------------------------------------------------ PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Quasi-linear first order equations: characteristic manifolds and Cauchy problem. Linear second-order equations. Hyperbolic equations for functions of two independent variables. CLASSICAL EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS. The one-dimensional wave equation: boundary-value problems. The wave equation in n-dimensional space. The method of spherical means: the Poisson formula. Hadamard method of descendent. Duhamel’s principle. Riemann’s method of integration for second order partial differential equations.The heat equation, the initial value problem. Maximum principles, uniqueness and regularity. Fundamental solution in one-dimensional space. The Laplace equation. Green’s identity, fundamental solution. Maximum Principle, Dirichlet problem. QUASI-LINEAR HYPERBOLIC 2x2 SYSTEMS. Hodograph method and Riemann invariants. Simple waves, nonlinear wave interaction. ------------------------------------------------------------ Modulo: 8197/2 - PROPAGAZIONE E TRASPORTO NEI MEZZI CONTINUI - MOD.B ------------------------------------------------------------ Nonlinear first order Partial Differential Equations: characteristic curves, well-posed problems; uniqueness of solutions. Scalar conservation laws. Classical and weak solutions. Shock waves. Rankine-Hugoniot conditions. Riemann problem. Entropy condition. Oleinik condition. Traffic flow problems. First order quasilinear hyperbolic systems. Examples. Cauchy problem. Linear systems. Simple waves. Exceptional waves. Differential constraints and simple waves. Conservation law systems. Supplementary conservation laws, main field and symmetric form. Classical and weak solutions. Shock waves. Rankine-Hugoniot conditions. Lax conditions. Entropy criterium. Riemann problems. Discontinuity waves. Bernoulli system, critical time.