Obiettivi Formativi

L’obbiettivo del corso è quello di presentare i fondamenti dell’algebra commutativa e alcuni recenti algoritmi per il calcolo di invarianti algebrici, con particolare enfasi alle basi di Groebner. Si analizzeranno algebre legate ad oggetti combinatorici e varietà affini di punti. Al termine del corso lo studente sarà in grado di calcolare alcuni importanti invarianti dell’Algebra Commutativa. Saprà risolvere sistemi di equazioni polinomiali con insiemi finiti di soluzione. Saprà inoltre identificare a priori se un tale sistema ha soluzione. Ed infine conoscerà metodi ed algoritmi per il calcolo di particolari invarianti di strutture combinatorie strettamente connesse agli invarianti delle algebre ad esse associate.

Learning Goals

The goal of the course is to present the fundaments of Commutative Algebra and some recent algorithms to compute algebraic invariants, with a particular emphasis on Groebner basis. We analyze algebras related to combinatorial objects and affine varieties of points. At the end of the course the student will know how to compute some fundamental algebraic invariants of Commuative Algebra. The student will know how to solve system of polynomial equations with a finite set of solutions, and how to identify “a priori” if the system has solutions. The student will know methods and algorithms to compute particular invariants of combinatorial structures strictly related to the invariants of the associated algebras.

Metodi didattici

Lezioni teoriche e applicative. Utilizzo di software di calcolo simbolico.

Teaching Methods

Lectures about theorical and applicative subjects. Usage of software for symbolic computation.

Prerequisiti

Contenuti dei corsi istituzionali di Algebra di un Corso di Laurea della Classe L-35, in particolare le nozioni fondamentali della teoria degli anelli. 

Prerequisites

The contents of the courses of Algebra of a degree of L-35 class, especially fundamental notions on ring theory.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame consiste di uno dei due metodi alternativi: 1) Esame orale; 2) Valutazioni in itinere più seminario finale. 1) Esame orale. L’esame orale prevede esercizi e domande teoriche su argomenti presentati durante il corso. La prova orale si intende superata se si raggiungono almeno 18/30. 2) Valutazioni in itinere più seminario finale. Le valutazioni in itinere settimanali (una per settimana e di circa 45 minuiti) prevedono esercizi e/o domande teoriche sugli argomenti appena trattati. Per la risoluzione si possono consultare gli appunti delle lezioni. Grazie alle valutazioni in itinere si potranno ottenere al massimo 28/30. Tale punteggio si otterrà dalla somma delle singole valutazioni in itinere. A tale punteggio si aggiunge quello del seminario finale che verrà valutato al massimo 2/30. Il seminario finale è scelto dallo studente in accordo col docente su tematiche trattate durante il corso. L’esame si intende superato se lo studente consegue tra prove in itinere e seminario un voto di almeno 18/30.

Assessment

The exam consists of the two following and alternative methods: 1) Oral exam; 2) In-itinere evaluations and final seminar. 1) Oral exam. The oral exam consists of exercises and theory questions presented during the course. The exam is passed if the final grade is equal to or greater than 18/30. 2) In-itinere evaluations and final seminar. There are weekly evaluations (one for week around 45 minutes each) consisting of exercises and/or theory questions about subjects considered during the week. To solve the test it is possible to check the notes of the lectures. Thanks to the evaluations the student obtains a grade of at most 28/30. This grade is obtained by adding each weekly evaluation. To this grade is added the evaluation of the final seminar whose grade is at most 2/30. The final seminar is chosen from the student in agreement with the professor about the topics of the course. The exam is passed if the student obtains, summing the in-itinere evaluations and seminar, a grade that is equal to or greater than 18/30.

Programma del Corso

Operazioni tra ideali monomiali e ideali di punti. Anello dei polinomi su un campo. Ideali iniziali. Basi di Groebner. Il problema dell’appartenenza ad un ideale. Teoria della eliminazione e applicazioni. Varietà affini. Relazioni con gli ideali. Risultante. Teorema di estensione. Nullstellensatz in forma debole e forte. Serie formali. Moduli graduati. Successioni esatte corte. La serie di Hilbert. Lemma di Macaulay ed ideali iniziali. Un algoritmo per il calcolo della serie di Hilbert. Lemma di Nakayama graduato. Risoluzione libera finita graduata e numeri di Betti graduati. Invarianti associati ai numeri di Betti: dimensione proiettiva, regolarità di Castelnuovo-Mumford e profondità.

Course Syllabus

Operations between monomial ideals and ideals of points. Polynomial ring over a field. Initial ideals. Groebner bases. Ideal membership problem. Elimination theory and applications. Affine varieties. Relation with ideals. Resultant.Extension theorem. Weak and strong Nullstellensatz. Formal series. Graded modules. Short exact sequences. The Hilbert series. Macaulay Lemma and the initial ideal. An algorithm for the computation of Hilbert series. Graded Nakayama’s lemma. Finite free resolution of a graded module and graded Betti numbers. Invariants associated to Betti numbers: projective dimension, Castelnuovo Mumford regularity and depth.