Obiettivi Formativi

Conoscenza degli elementi fondamentali di: spazi vettoriali topologici, analisi multivoca, teoria delle funzioni assolutamente continue e a variazione limitata, soluzioni generalizzate per equazioni differenziali ordinarie, equazioni integrali. Acquisizione delle relative abilità di calcolo.

Learning Goals

Knowledge of the basic elements of the theory of: topological vector spaces, set-valued analysis, bounded variation and absolutely continuous functions, generalized solutions of ordinary differential equations, integral equations. Acquisition of the related calculus skills.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. E' previsto l'utilizzo di materiale che verrà proiettato in video, e fornito agli studenti da parte del docente.

Teaching Methods

Frontal lessons and exercises. Some written material will be shared by video, and it will be provided to the students by the teacher.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, successioni e serie di funzioni, topologia generale, spazi metrici, teoria della misura e dell’integrazione nel senso di Lebesgue, teoria degli spazi normati.

Prerequisites

Differential and integral calculus for functions of one or several variables, function sequences and series, general topology, metric spaces, measure and Lebesgue integration theory, normed space theory.

Verifiche dell'apprendimento

Prova orale finale, che verterà sia sugli argomenti trattati nelle lezioni teoriche che su quelli trattati nelle esercitazioni. La valutazione finale terrà conto in egual misura di entrambi gli aspetti (teoria ed esercitazioni), e verranno valutati il grado di preparazione raggiunto (conoscenza e comprensione degli argomenti e capacità di calcolo acquisite), la proprietà di linguaggio e la capacità espositiva rispetto agli argomenti trattati, il grado di padronanza degli argomenti trattati e degli strumenti di calcolo acquisiti

Assessment

Final oral examination, on both theory and exercises. The final rating will take into account both aspects (theory and exercises), and will be taken into account the level of preparation (knowledge and understanding of the arguments and calculus skills), language skills and exhibition capacity of the arguments, lever of mastery of the arguments and of the calculus tools.

Programma del Corso

SUCCESSIONI GENERALIZZATE: Richiami su spazi topologici, metrici, normati. Relazioni filtranti di ordinamento parziale. Successioni generalizzate e loro convergenza. Caratterizzazione degli insiemi chiusi mediante successioni generalizzate. Caratterizzazione degli insiemi chiusi in spazi 1-numerabili. Caratterizzazione della continuità mediante successioni generalizzate. Caratterizzazione della continuità in spazi 1-numerabili. Proprietà della intersezione finita. Caratterizzazione della compattezza mediante famiglie di chiusi. Valore limite di una successione generalizzata. Caratterizzazione della compattezza mediante i valori limite di successioni generalizzate. Sottosuccessioni generalizzate. Caratterizzazione dei valori limite di una successione in spazi 1-numerabili. Compattezza sequenziale di uno spazio compatto e 1-numerabile. Cenni su spazi vettoriali spazi vettoriali topologici e sugli spazi vettoriali topologici localmente convessi. IL TEOREMA DI ASCOLI ARZELA': Lo spazio metrico L°(X,Y) delle funzioni limitate. Oscillazione di una funzione. Funzioni totalmente limitate e loro caratterizzazione. Funzioni equi-totalmente limitate. Criterio di totale limitatezza in L°(X,Y). Lo spazio C°(X,Y). Funzioni equicontinue e funzioni equi-uniformemente continue. Teorema di Cantor generalizzato. Convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni a valori in uno spazio metrico. Completezza di L°(X,Y) e C°(X,Y). Teorema di Ascoli-Arzelà e sue applicazioni. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA (VL): Derivabilità delle funzioni monotone. Variazione totale di una funzione. Funzioni a variazione limitata. Variazione limitata delle funzioni monotone. Monotonia della variazione totale. Additività della variazione totale. Somma di funzioni a variazione limitata. Prodotto di una costante per una funzione a variazione limitata. Spazio normato delle funzioni a variazione limitata. Funzioni a variazione limitata e curve rettificabili. Esempi di funzioni continue non a VL. Rappresentazione di una funzione VL come differenza di funzioni monotone. Derivabilità q.o. di una funzione VL, e sommabilità della derivata. Insieme di Cantor e funzione di Cantor. Limitatezza, misurabilità e sommabilità di una funzione VL. Numerabilità dell'insieme delle discontinuità di una funzione VL. Prodotto di funzioni a VL. Continuità della variazione totale di funzioni continue a VL. Funzioni vettoriali a VL. FUNZIONI ASSOLUTAMENTE CONTINUE (AC): Funzioni assolutamente continue. Uniforme continuità di una funzione AC. Ogni funzione AC è a VL. Continuità assoluta della funzione integrale di una funzione sommabile. Funzioni Holderiane. Funzioni Holderiane con esponente maggiore di uno. Continuità assoluta delle funzioni Holderiane. Continuità assoluta della variazione totale di una funzione assolutamente continua. Funzioni sommabili con funzione integrale identicamente nulla. Derivata della funzione integrale di una funzione sommabile. Lemma di copertura di Vitali. Funzioni AC con derivata quasi ovunque nulla. Formula di Newton-Leibniz. Caratterizzazione delle funzioni AC tramite la norma L1 della loro derivata. Caratterizzazione delle funzioni AC tramite la proprietà di Lusin. SOLUZIONI GENERALIZZATE DI EDO ORDINARIE DEL 1 ORDINE IN FORMA NORMALE: Definitione di soluzione generalizzata. Funzioni di Caratheodory. Teorema di Caratheodory. ANALISI MULTIVOCA: Multifunzioni. Dominio, codominio, grafico. Retroimmagine forte e debole di un insieme. Semicontinuità inferiore e semicontinuità superiore di una multifunzione. Caratterizzazioni della semicontinuità superiore e della semicontinuità inferiore di una multifunzione in un punto per mezzo di successioni generalizzate. Caratterizzazioni della semicontinuità inferiore e della semicontinuità superiore di una multifunzione in tutto lo spazio. Multifunzioni continue e loro caratterizzazioni. Multifunzioni con grafico chiuso. Proprietà delle multifunzioni con grafico chiuso. Relazione tra chiusura del grafico e semicontinuità superiore. Teorema di Hildenbrand. Immagine di uno spazio topologico compatto attraverso una multifunzione s.c.s.. Immagine di uno spazio topologico connesso attraverso una multifunzione s.c.i. o s.c.s.. Multifunzioni aperte e chiuse. Inversa di una multifunzione. Chiusura puntuale di una multifunzione. Semicontinuità inferiore e superiore di multifunzioni particolari. Complementare di una multifunzione. Selezioni di una multifunzione. Raffinamento di un ricoprimento. Ricoprimenti localmente finiti. Spazi topologici paracompatti. Partizione continua dell'unità. Esistenza di una partizione continua dell'unità. Teorema di Michael. Versione forte del Teorema di Michael (estensione di selezioni continue). Teorema di estensione per continuità. Distanza di Hausdorff in uno spazio metrico e sue proprietà. Multifunzioni Lipschitziane. Semicontinuità inferiore, superiore e continuità in senso metrico. Relazioni tra Lipschitzianità, s.c.i. e s.c.s. in senso metrico e in senso ordinario. Punti fissi di una multifunzione. Teorema di Nadler. Spazi metrici generalizzati. Teorema di Covitz-Nadler. Multifunzioni misurabili. Teorema di Kuratowski e Ryll-Nardzewski. Rappresentazione di Castaing. Spazi localmente connessi. Teorema fondamentale di semicontinuità inferiore. Funzioni induttivamente aperte. Misure internamente regolari, esternamente regolari e regolari. Selezioni Riemann-misurabili. Teorema di Saint-Raymond e sue varianti. SOLUZIONI GENERALIZZATE DI EQUAZIONI ED INCLUSIONI DIFFERENZIALI: Spazi C^m([a,b],R^n) e W^{k,p}([a,b],R^n). Soluzioni generalizzate di equazioni differenziali di ordine k. Problema di Cauchy. Inclusioni differenziali. Riduzione di un'equazione differenziale in forma implicita ad un'inclusione differenziale.  Insieme raggiungibile. Esistenza e dipendenza dal valore iniziale per inclusioni differenziali del primo ordine e per equazioni differenziali del primo ordine in forma implicita. Cenni sul problema ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine e su equazioni integrali di tipo notevole.

Course Syllabus

GENERALIZED SEQUENCES: Recalls on topological, metric and normed spaces. Filtering relations of partial order. Generalized sequences and their convergence. Characterization of closed sets by means of generalized sequences. Characterization of closed sets in first-countable spaces. Characterization of continuity by means of generalized sequences. Characterization of continuity in first-countable spaces. The finite-intersection property. Characterization of compact spaces by families of closed sets. Cluster point of a generalized sequence. Characterization of compact spaces by cluster points of generalized sequences. Generalized subsequences. Characterization of the cluster points of a sequence in first-countable spaces. Sequential compactness of compact first-countable-spaces. Hints on topological vector spaces and on locally convex topological vector spaces. THE ASCOLI-ARZELA' THEOREM: The metric space L°(X,Y) of bounded functions. Oscillation of a function. Totally bounded functions. Equi-totally bounded functions. Characterization of totally bounded sets in L°(X,Y). The space C°(X,Y). Equicontinuous and equi-uniformly continuous functions. The generalized Cantor theorem. Pointwise and uniform convergence of sequences of functions in metric spaces. Completeness of L°(X,Y) e C°(X,Y). The Ascoli-Arzelà theorem and some applications. FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION (BV): Differentiability of monotone functions. total variation of a real-valued function. Bounded variation (BV) functions. Bounded variation of monotone functions. Monotonicity and additivity of the total variation. Sum of functions of bounded variation. Product of a constant with a function of bounded variation. The normed space of bounded variation functions. Functions of bounded variation and rectifiable curves. Example of a continuous function which is not of bounded variation. Representation of BV functions as difference of two monotone functions. The derivative of a BV function exists almost everywhere. Summability of the derivative of a BV function. Cantor set and Cantor function. Every BV function is bounded, measurable and summable. Countability of the points of discontinuity of a BV function. Product of BV functions. Continuity of the total variation of a BV function. Vector-valued BV functions. ABSOLUTELY CONTINUOUS (AC) FUNCTIONS: Absolutely continuous functions. Uniform continuity of an AC function. Bounded variation of an AC function. The integral function of a summable function is absolutely continuous. Holder continuous functions. Absolute continuity of Holder continuous functions. Absolute continuity of the total variation of an AC function. Summable functions with null integral function. Derivative of the integral function of a summable function. Vitali's lemma. AC functions with almost everywhere zero derivative. Newton-Leibniz formula. Characterization of AC functions by the L1 norm of their derivative. Characterization of AC functions by the Lusin property. GENERALIZED SOLUTIONS OF 1-ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS IN NORMAL FORM: The notion of generalized solution. Caratheodory functions. Caratheodory's theorem. SET-VALUED ANALYSIS: Multifunctions. Domain, range, graph. Strong and weak inverse image of a set. Lower and upper semicontinuity of a multifunction. Characterizations of lower and upper semicontinuity of a multifunction at a point by generalized sequences. Characterizations of lower and upper semicontinuity of a multifunction in the whole domain. Continuous multifunctions and their characterizations. Multifunctions with closed graph and their properties. Relations between graph closedness and upper semicontinuity. Hildenbrand's theorem. Image of a compact space under an upper semicontinuous multifunction. Image of a connected space under an upper or a lower semicontinuous multifunction. Open and closed multifunctions. Inverse of a multifunction. Pointwise closure of a multifunction. Lower and upper semicontinuity of some special multifunctions. Complementary of a multifunction. Selections of a multifunction. Refinement of a cover. Locally finite covers. Paracompact topological spaces. Continuous partition of unity. Existence of a continuous partition of unity. Michael's theorem. Strong form of Michael's theorem. Extension of continuous selections. Extension of continuous functions. Hausdorff distance in a metric space and its properties. Lipschitzean multifunctions. Lower semicontinuity, upper semicontinuity and continuity in metric sense. Relations between Lipschtzianity and upper and lower semicontinuity in usual sense and in metric sense. Fixed points of a multifunction. Nadler's theorem. generalized metric spaces. Covitz-Nadler's theorem. Measurable multifunctions. Kuratowski and Ryll-Nardzewski's theorem. Castaing's representation. Locally connected spaces. A basic theorem of lower semicontinuity. Inductively open functions. Inner regular and outer regular measures. Regular measures. Riemann-measurable selections. Saint Raymond's theorem and its generalizations. GENERALIZED SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS AND INCLUSIONS: C^m([a,b],R^n) and W^{k,p}([a,b],R^n) spaces. Generalized solution of higher-order ordinary differential equations. Cauchy problem. Differential inclusions. Reduction of an implicit differential equation to a differential inclusion. The attainable set. Existence of generalized solutions and dependence from the initial data for first-order differential inclusions and for implicit first-order differential equations. Hints on the boundary value problem for second-order differential equations and on integral equations.