Obiettivi Formativi

Acquisizione di metodologie avanzate per lo studio di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali che descrivono fenomeni reali in contesti applicativi di tipo interdisciplinare.

Learning Goals

Acquisition of advanced methodologies for studying ordinary and partial differential equations describing real-world phenomena in applied and interdisciplinary contexts.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni.

Teaching Methods

Face-to-face Lectures and practical training.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale di funzioni in una e più variabili. Algebra lineare.

Prerequisites

Differential and integral calculus in one and more variables. Linear algebra.

Verifiche dell'apprendimento

Al fine di verificare il livello di preparazione raggiunto l'esame consiste in una prova orale integrata dalla discussione di un lavoro scientifico inerente agli argomenti sviluppati durante il corso.

Assessment

In order to verify the level of preparation achieved, the exam consists of an oral test integrated by the discussion of a scientific work inherent to the topics developed during the course.

Programma del Corso

INTRODUZIONE ALLA TEORIA QUALITATIVA DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Considerazioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie. Risultati generali. Il teorema di esistenza e unicità e il problema ai dati iniziali. Sistemi non lineari. Spazio delle fasi. Equilibrio e stabilità. Criterio di stabilità lineare. Stabilità non lineare e teoremi di Lyapunov. Diagrammi di biforcazione. Biforcazione a forchetta, supercritica e subcritica. Esempi e applicazioni. PROCESSI EVOLUTIVI RETTI DA PDE. Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali. Leggi di conservazione. Leggi costitutive. Equazioni notevoli: corde vibranti, avvezione, diffusione. Derivazione e proprietà della soluzione dell’equazione della diffusione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni. Equazioni di reazione-diffusione. Analisi qualitativa. Travelling waves per equazioni singole e sistemi di equazioni alle derivate parziali. Instabilità di Touring e formazione di pattern. Equazione di Fisher: condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di travelling waves, stabilità. Studio delle travelling waves nella diffusione spaziale di alcune malattie infettive.

Course Syllabus

INTRODUCTION TO THE QUALITATIVE THEORY OF ODE. Introductory considerations on ordinary differential equations. General results. The existence and uniqueness theorem and the problem with the initial data. Non-linear systems. Phase space. Balance and stability. Linear stability criterion. Nonlinear stability and Liapunov theorems. Bifurcation diagrams. Fork bifurcation, supercritical and subcritical. Examples and applications. EVOLUTIONARY PROCESSES GOVERNED BY PDE. Classification of mathematical models with partial derivatives. Conservation laws. Founding laws. Notable equations: vibrating string, advection, diffusion equations. Derivation and properties of the solution of the diffusion equation. Problems with the initial value and the boundary. Solving methods for linear problems and variable separation method. Examples and applications. Reaction-diffusion equations. Qualitative analysis. Traveling waves for single equations and systems of partial differential equations. Touring instability and pattern formation. Fisher equation: necessary and sufficient condition for the existence of traveling waves, stability. Study of traveling waves in the spatial spread of some infectious diseases.