Obiettivi Formativi

Gli obiettivi del corso di “Analisi Matematica II” sono che gli studenti acquisiscano conoscenza e comprensione di alcuni elementi di base dell’analisi matematica relativi alle funzioni vettoriali di più variabile che risultano fondamentali per le scienze ingegneristiche e per le loro realtà applicative. A tal fine la parte teorica del corso sarà presentata in modo rigoroso ma conciso e accompagnata da una parallela attività di esercitazione volta a favorire la comprensione dei concetti; sviluppino la capacità di applicare le nozioni teoriche per impostare, analizzare e risolvere problemi teorici anche complessi come attraverso la teoria del calcolo differenziale e il calcolo integrale di funzioni di più variabili, oltreché curve e integrali curvilinei, equazioni differenziali ordinarie; ottengano autonomia di giudizio nell’ analizzare problemi e applicare le metodologie matematiche opportune; siano in grado di comunicare con competenza e proprietà di linguaggio su problematiche inerenti le tematiche studiate; siano capaci di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente percorsi di formazione successivi.

Learning Goals

The objectives of the "Mathematical Analysis II" course are that students: acquire knowledge and understanding of some basic elements of mathematical analysis relating to vector functions of several variables which are fundamental for the engineering sciences and their application realities. To this end, the theoretical part of the course will be presented rigorously but concisely and accompanied by a parallel exercise activity aimed at promoting understanding of the concepts; develop the ability to apply the theoretical notions to set up, analyze and solve even complex theoretical problems such as through the theory of differential calculus and the integral calculus of functions of several variables, as well as curves and curvilinear integrals, ordinary differential equations; obtain independent judgment in analyzing problems and applying the appropriate mathematical methodologies; they are able to communicate with competence and ownership of language on issues related to the topics studied; they are able to independently consult specialist texts, even outside the topics covered in detail during the lessons, in order to effectively deal with subsequent training courses.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons, guided exercises with teacher support, and exam simulations with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Conoscenze di Analisi Matematica 1 e Geometria e Algebra.

Prerequisites

Knowledge of Mathematical Analysis 1 and Geometry and Algebra.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale.

Assessment

The exam consists of a written test followed by an oral test. During the written test, students are asked to perform the complete development of  exercises . The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is two hours. The evaluation of the written test is scored out of thirty. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 15/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course (definitions, relevant examples, theorems, proofs, applications, links between the various topics.). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and during the oral exam.

Programma del Corso

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia in R^n - funzioni di più variabili: limiti e continuità - derivate parziali - derivate direzionali - differenziale e funzioni differenziabili - teorema del differenziale totale - funzioni composte - teorema del valor medio - derivate successive - teorema di Schwarz - differenziale - matrice hessiana - derivazione funzioni vettoriali - matrice jacobiana - massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili -forme quadratiche – cenni sulle funzioni implicite ed alcune applicazioni.  Integrali curvilinei e forme differenziali Curve regolari - lunghezza di una curva - ascissa curvilinea - integrale curvilineo di una funzione - forme differenziali - integrale curvilineo di una forma differenziale. Calcolo integrale per funzioni di più variabili Integrali doppi - domini normali - integrale di funzione limitata su domini normali - proprietà elementari dell'integrale doppio - calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione - cambiamento di variabili Equazioni differenziali ordinarie. equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee, equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti; equazioni lineari non omogenee.

Course Syllabus

Differential calculus for functions of several variables. Elements of topology in R ^ n - functions of several variables: limits and continuity - partial derivatives - directional derivatives - differential and differentiable functions - total differential theorem - compound functions - mean value theorem - successive derivatives - Schwarz theorem - differential - hessian matrix - derivation of vector functions - jacobian matrix - local maxima and minima for functions of several variables - quadratic forms - hints on implicit functions and some applications. Curvilinear integrals and differential forms Regular curves - length of a curve - curvilinear abscissa - curvilinear integral of a function - differential forms - curvilinear integral of a differential form. Integral calculus for functions of several variables Double integrals - normal domains - integral of bounded function on normal domains - elementary properties of the double integral - calculus of double integrals: reduction method - change of variables Ordinary differential equations. differential equations with separable variables; non-homogeneous linear differential equations of the first order, homogeneous linear differential equations with constant coefficients; non-homogeneous linear equations.