Obiettivi Formativi

Comprensione dei principali strumenti matematici, locali e globali, analitici e geometrici, necessari allo studio dei modelli meccanici e biologici descritti da equazioni e sistemi differenziali ordinari. Studio dei principali modelli di evoluzione di una o più popolazioni interagenti, sia nell'ambito discreto che nel continuo. Modellizzazione di fenomeni fisici,biologici e medici.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste esercitazioni in aula  con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.  

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti quelli forniti dai corsi di base della Laurea triennale in matematica

Verifiche dell'apprendimento

L'esame, orale, è incentrato sugli argomenti trattati durante il corso. Inoltre,  viene completato con la discussione di un articolo scientifico, scelto tra quelli suggeriti dal docente, il cui argomento rientra tra le tematiche  contenute nel programma svolto. L'esame è volto a verificare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi: livello di conoscenza degli argomenti teorici e capacità di impostare e risolvere problemi. Il voto finale è espresso in trentesimi.

Programma del Corso

MODELLI PER UNA SINGOLA SPECIE. Modelli di popolazione continua. Crescita esponenziale Modello logistico. Effetto Allee. Equazione logistica in epidemiologia. Modelli di popolazione con prelievo (harvesting). Modelli di popolazione discreti. Modelli lineari. Analisi dell’equilibrio. Modelli continui e discreti con ritardo. MODELLI CONTINUI PER POPOLAZIONI INTERAGENTI. Equazione di Lotka-Volterra. Equilibri e linearizzazione. Comportamento qualitativo delle soluzioni nei sistemi lineari. Soluzioni periodiche e cicli limite. Modelli continui per due popolazioni interagenti. Specie in competizione. Sistemi preda-predatore. Modelli di Kolmogorov. Mutualismo. Interazione tra specie. Specie invadenti e coesistenza. Modelli per due specie con prelievo. Modelli di ecosistemi chiusi. MODELLI DI POPOLAZIONI CON STRUTTURA. Modelli discreti lineari. Modelli continui lineari. Modelli di popolazioni strutturate per età. MODELLI DI TRASMISSIONE DELLE MALATTIE. Modello delle epidemie. Modelli più complicati delle epidemie (modelli con trattamento, modello dell’influenza, modello con isolamento e quarantena). Modelli per malattie endemiche. Un modello per malattie senza immunità (SI). Modello con immunità temporanea (SI(R)). AIDS: Modello di trasmissione del virus HIV. Modello con ritardo per l’infezione HIV con terapia farmacologica.