Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle più semplici equazioni differenziali ordinarie e le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici. Si insisterà sulla comprensione e sull’assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi. Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali, serie oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche e dovranno sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere anche di tipo applicativo e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti. Dovranno sapere argomentare le scelte effettuate ed essere in grado di individuare le regole appropriate da applicare alla risoluzione di problemi nuovi, analoghi a quelli discussi a lezione. Gli studenti dovranno sapere comunicare in modo efficace, pertinente e dimostrare capacità logico - argomentative e di sintesi. Gli studenti dovranno essere in grado di discutere alcuni temi scientifici costruendo semplici modelli matematici applicati all'ingegneria. Far acquisire la capacità di individuare autonomamente gli strumenti e le fonti di dati necessarie all'analisi, alla comprensione e alla risoluzione dei problemi pertinenti l'insegnamento anche attraverso l'integrazione delle conoscenze acquisite con appropriate indagini bibliografiche tali da consentire un confronto critico tra le diverse soluzioni possibili. Far acquisire la capacità di interloquire con linguaggio tecnico appropriato alla disciplina. Far acquisire un metodo di studio individuale adeguato a consentire l'approfondimento delle conoscenze e ad affrontare ulteriori tematiche avanzate o settoriali.

Metodi didattici

Il corso si svolge attraverso lezioni frontali (36 ore) ed esercitazioni svolte dal docente (36 ore) con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria. Tutte le attività sono svolte con supporto di slide delle lezioni

Prerequisiti

Padronanza degli argomenti di base di matematica elementare, fornita dalle scuole medie superiori.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta lo studente deve risolvere alcuni esercizi, atti a dimostrare di aver acquisito e saper utilizzare gli strumenti forniti durante il corso. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi Per superare tale prova è necessario acquisire almeno 16 punti su 30. Il superamento della prova scritta consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sulla prova scritta e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso, l'acquisizione del rigore metodologico e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove scritte in itinere relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti. A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. Gli studenti che in ogni prova di verifica in itinere conseguono un punteggio pari o maggiore a 16/30 potranno sostenere il colloquio orale durante gli appelli stabiliti dal calendario. Gli studenti che non partecipano alle prove in itinere possono sostenere la prova scritta durante gli appelli previsti dal calendario degli esami del Dipartimento di Ingegneria. L’esame si intende superato se il punteggio medio tra parte scritta e parte orale è pari o superiore a 18/30.

Programma del Corso

INSIEME DEI REALI -Insiemi numerici: Il principio di induzione – Coefficiente binomiale - Numeri reali - Ordinamento e completezza. INSIEME DEI COMPLESSI -Potenze con esponente reale, logaritmi -numeri complessi-operazioni fra numeri complessi-equazioni numeri complessi. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: dominio e codominio di una funzione-funzione iniettiva, suriettiva e biettiva-funzioni composte-funzione inversa-topologia della retta reali-funzioni monotone -funzioni limitate-grafico di funzioni elementari. Limiti di funzione -gerarchia degli infiniti-confronto fra infiniti-principio di sostituzione degli infiniti -algebra dei limiti - funzioni continue-algebra della continuità- Continuità delle funzioni composte-punti di discontinuità-teorema dell’esistenza degli zeri -teorema di Weierstrass-teorema dei valori intermedi-teorema su funzioni inverse CALCOLO DIFFERENZIALE: derivata -retta tangente -algebra delle derivate -derivabilità e continuità- punti di non derivabilità-derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse -massimi e minimi relativi -teorema di Fermat -teorema di Rolle -teorema di Lagrange-conseguenze al teorema di Lagrange -studio di funzione-teorema di Cauchy -teorema di De l’Hopital -funzioni concave e convesse-derivate successive – Formula di Taylor e sue applicazioni. CALCOLO INTEGRALE: primitiva di una funzione- integrale indefinito- integrali elementari-tecniche di integrazione -integrazione di funzioni composte-integrazione per parti-integrale secondo Riemann- proprietà dell’integrale -teorema della media-teorema fondamentale del calcolo integrale - integrazione impropria. SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE: successioni monotone-limiti di successione -algebra dei limiti-teorema del confronto – proprietà delle serie -serie geometrica - serie di Mengoli, serie armonica - Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice - serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.