Obiettivi Formativi

Conoscenze e piena comprensione delle teorie e degli strumenti matematici più usati nelle applicazioni ingegneristiche, tra cui teoria delle funzioni di variabile complessa, teoria delle funzioni analitiche, teoria dei residui, trasformate e antitrasformate di Laplace, analisi armonica. Sviluppo della capacità di applicare in maniera autonoma le tecniche matematiche per impostare, analizzare e risolvere problemi teorici anche complessi. Sviluppo di autonomia di giudizio al fine di utilizzare, in modo critico, gli strumenti di calcolo, in particolare, relativi a: calcolo di serie di Fourier e applicazioni alla teoria dei segnali, integrazione nel piano complesso e calcolo dei residui, capacità di utilizzare trasformate di Laplace per risolvere problemi differenziali. Acquisizione di un linguaggio appropriato e rigoroso, utile a sviluppare abilità di comunicazione, al fine di sostenere argomentazioni teoriche su temi applicativi, e permettere una sicura ed efficace comunicazione sia con interlocutori specialisti che non. Sviluppo delle abilità di apprendimento necessarie sia per affrontare gli studi successivi specifici dell’Ingegneria sia per inserirsi, in futuro, in diversi contesti lavorativi, possedendo un alto grado di autonomia ed un bagaglio culturale tale che gli consenta di avere le capacità di adattarsi e aggiornarsi continuamente.

Learning Goals

Knowledge and comprehension of the mathematical theory and tools most used in engineering applications, including: theory of complex functions, theory of analytic functions, Laplace transform, residue theory, harmonic analysis; Development of the ability of applying mathematical techniques to set up, analyze and solve complex theoretical problems; Development of autonomy of judgment in order to use the computation tools, in particular, related to: Fourier series and applications to signal theory, integration in the complex space and calculation of residues, ability to use Laplace transforms to solve ordinary differential problems; Acquisition of an appropriate and rigorous language, useful for developing communication skills, in order to support theoretical arguments on applicative arguments, and allow effective communication with both specialist and non-specialist interlocutors; Development of the learning skills necessary both to address the specialistic courses of Engineering and to fit, in the future, in different working contexts, possessing a high degree of autonomy and a cultural background in order to have the ability to adapt and continuously update.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico. Le lezioni sono svolte con supporto di slide.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons, guided exercises with teacher support, and exam simulations with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking. All lectures are carried out with the support of slides.

Prerequisiti

Conoscenze di base relative all’algebra e alla geometria, all'analisi delle funzioni di una o più variabili reali, alle serie numeriche e di funzioni e alle equazioni differenziali ordinarie.

Prerequisites

Basic knowledge related to algebra and geometry, the analysis of the functions of one or more real variables, the numerical series and ordinary differential equations.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso con rifermento alla prova scritta svolta. Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale. Durante lo svolgimento del corso, sono previste due prove scritte in itinere. Lo studente che supera le prove in itinere è esonerato dalla prova scritta e può direttamente sostenere la prova orale. Le prove in itinere sono relative agli argomenti trattati durante il corso e si tengono rispettivamente nei periodi di Novembre e Gennaio (in date che vengono concordate durante le lezioni con gli studenti). A ciascuna prova si assegna una valutazione in trentesimi. La prova scritta è superata se la media delle due prove di verifica è pari o maggiore a 15/30. Durante le prove scritte è possibile utilizzare una calcolatrice e consultare il libro di testo. Prove di esame degli anni precedenti sono reperibili alla pagina Moodle del corso.

Assessment

The exam consists of a written test followed by an oral test. During the written test, students are asked to perform the complete development of exercises. The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is two hours. The evaluation of the written test is scored out of thirty. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 15/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course with reference to the written test carried out. It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and during the oral exam. During the course, there are two ongoing written tests. Students who pass the ongoing tests are exempt from the final written exam and can directly take the oral exam. The ongoing tests are related to the topics covered during the course and are held respectively in the periods of November and January (on dates that are agreed during the lessons with the students). A score out of thirty is assigned to each test. The written test is passed if the average of the two tests is equal to, or greater than, 15/30. During the written exams, it is permitted to use a calculator and to consult the textbook. Past exam papers can be found on the Moodle page of the course.

Programma del Corso

-NUMERI COMPLESSI: Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprietà del modulo e dell'argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. -FUNZIONI IN CAMPO COMPLESSO: Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà, derivazione termine a termine. Funzioni analitiche: Funzioni Olomorfe e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. -SVILUPPI IN SERIE: Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identità. Classificazione delle singolarità isolate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. -INEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE: Cenni sulla misura e sull'integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili. -RESIDUI: Teorema dei residui. Calcolo dei residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici. -TRASFORMATA DI LAPLACE: Definizione e dominio della trasformata di Laplace. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Antitrasformata. Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari. -SERIE DI FOURIER: Generalità sui segnali. Segnali periodici. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier esponenziale e trigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia. Trasformata di Fourier: Definizione di trasformata di Fourier. Proprietà formali della trasformata di Fourier. Anti trasformata.

Course Syllabus

-COMPLEX NUMBER: Algebraic, trigonometric, exponential form. Module and argument properties. De Moivre formulas and n-th roots. -COMPLEX FUNCTIONS: Elementary functions in the field of complex numbers: exponential, sine and cosine, hyperbolic sine and cosine, logarithm, power. Sequences and series in the field of complex numbers. Power series: convergence radius and properties, term termination derivation. Analytical functions: Holomorphic functions and Cauchy-Riemann conditions. Integrals of complex variable functions. Cauchy theorem and formulas. -SERIES: Taylor series. Laurent series. Zeros of analytic functions. Classification of singularities. Liouville theorem. Fundamental theorem of algebra. -LEBESGUE INTEGRAL: Notes on Lebesgue measure and integral. Summable functions. Theorems of passage to the limit under the sign of integral. Integrals in the sense of the principal value. Spaces of summable functions. -REDIDUES: Residue theorem. Calculation of residues in the poles. Calculation of integrals with the residual method. Jordan lemmas. Simple fractions. -LAPLACE TRANSFORM. Definition and domain of the Laplace transform. Examples of Laplace transform. Properties of the Laplace transform. Inverse trasform, Laplace transform in solving ODE. -FOURIER SERIES. General information on signals. Periodic signals Trigonometric polynomials. Exponential and trigonometric Fourier series. Convergence in the punctual sense and in the sense of energy. Fourier transform: Definition of Fourier transform. Formal properties of the Fourier transform. Inverse.