Obiettivi Formativi

Fornire agli studenti i metodi per lo studio e l'analisi delle principali strutture algebriche, quali gli spazi vettoriali e gli anelli di endomorfismi, e di quelle geometriche nel piano e nello spazio. L'insegnamento ha quindi lo scopo di fornire gli strumenti fondamentali dell'Algebra Lineare e della Geometria, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi. Far acquisire la capacità di applicare le conoscenze maturate in ambito della teoria degli operatori lineari al fine di identificare, formulare e risolvere problemi dell'ingegneria. Lo studente sarà in grado di utilizzare la teoria delle matrici per interpretare i dati, individuare appropriati metodi di modellazione e trarre conclusioni e sviluppare adeguate competenze, sui temi ed aspetti fondamentali della teoria delle matrici, con applicazioni allo studio degli operatori lineari e bilineari, al fine di affrontare lo studio di discipline ingegneristiche. Far acquisire la capacità di individuare autonomamente gli strumenti e le fonti di dati necessarie all'analisi, alla comprensione e alla risoluzione dei problemi pertinenti l'insegnamento anche attraverso l'integrazione delle conoscenze acquisite con appropriate indagini bibliografiche tali da consentire un confronto critico tra le diverse soluzioni possibili. Far acquisire la capacità di interloquire con linguaggio tecnico appropriato alla disciplina e di poter interagire sia con esperti del proprio o di altri settori ingegneristici che con interlocutori non specialisti, comunicando con un linguaggio matematico appropriato. Far acquisire il metodo di studio logico-deduttivo dell’algebra, al fine di sviluppare un grado di autonomia adeguato a consentire l'approfondimento delle conoscenze e ad affrontare ulteriori tematiche avanzate o settoriali.

Metodi didattici

La didattica è affidata alle tradizionali lezioni frontali in aula. Partendo dalle definizioni e le proprietà delle strutture algebriche di base e dell'algebra lineare, vengono fornite le dimostrazioni di alcuni tra i principali teoremi. Gran parte delle lezioni è dedicata allo svolgimento di esercizi esemplificativi svolti dal docente e preparatori alle prove intermedie e finale. Sono inoltre previste esercitazioni guidate svolte dagli studenti, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Prerequisiti

Nozioni di base dell'algebra dei polinomi, di trigonometria e di geometria euclidea piana.

Verifiche dell'apprendimento

Il corso è suddiviso in tre parti: 1) Teoria delle matrici, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari. 2) Operatori lineari e loro forme canoniche 3) Applicazione dell’algebra lineare allo studio delle coniche nel piano e di rette e piani nello spazio. L'esame finale consiste in una prova scritta contenente domande a risposta aperta ed esercizi da risolvere. Lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito una buona capacità di ragionamento critico sullo studio realizzato e di saper utilizzare gli strumenti forniti durante ciascuna delle 3 parti in cui il corso è suddiviso. La valutazione della prova è espressa con un voto in trentesimi. L’esame si intende superato se lo studente consegue un voto di almeno 18/30. Al termine dello svolgimento di ognuna delle 3 parti in cui il corso è suddiviso, viene svolta una prova di verifica (facoltativa). Essa consiste in un esame scritto, nel quale lo studente dovrà rispondere a quesiti, sotto forma di esercizi da svolgere, attinenti agli argomenti trattati in aula e relativi alla parte di corso cui la prova fa riferimento. Ogni prova si intende superata se lo studente consegue un voto di almeno 18/30. Gli studenti che avranno superato le 3 prove intermedie saranno esonerati dalla prova scritta Il voto finale sarà quindi la media aritmetica dei voti conseguiti singolarmente nelle prove intermedie superate. Tutte le prove intermedie sostenute hanno validità fino al termine dell’anno accademico in corso. Coloro che non avessero superato una (o più di una) delle prove intermedie, dovranno sostenere la prova scritta finale, in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami. Quest'ultima verterà su argomenti esclusivamente inerenti alla parte di programma relativa alla prova intermedia (o prove intermedie) precedentemente non superata (o non superate). In questo caso il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti separatamente in ciascuna delle prove (intermedie e finale) sostenute e superate. In ogni caso, ciascuno studente potrà decidere di non affrontare alcuna prova intermedia e sostenere solo la prova finale (in una qualsiasi delle date previste dal calendario d'esami).

Programma del Corso

MATRICI: Operazioni tra matrici. Complemento algebrico e determinante. Teoremi di Laplace e Binet. Dipendenza ed indipendenza lineare tra le righe di una matrice. Rango di una matrice. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Matrici ridotte. Matrici invertibili. Matrici simili. SISTEMI LINEARI: Soluzione di un sistema lineare. Sistemi di Cramer. Teorema di RouchèCapelli. Metodo di risoluzione dei sistemi lineari. Algoritmo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. SPAZI VETTORIALI: Spazi vettoriali su di un campo. Sottospazi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Basi e dimensione. Cambiamento di base e matrici di transizione. APPLICAZIONI LINEARI: Nucleo ed Immagine. Iniettività e suriettività. Isomorfismi di spazi vettoriali. Matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita.  Cambiamento di base nel dominio e nel codominio di una applicazione lineare. Immagine e retroimmagine di sottospazi vettoriali. OPERATORI LINEARI E FORME CANONICHE: Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Autospazi e diagonalizzazione. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Forma canonica di Jordan di un endomorfismo non diagonalizzabile. Polinomio minimo e Teorema di CaleyHamilton VETTORI GEOMETRICI: Operazioni di somma tra vettori e di prodotto d in vettore ed uno scalare. Combinazioni lineari. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Proiezione di un vettore su una retta. Proiezione di un vettore su un piano. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE E NEL PIANO EUCLIDEO:  Equazione della retta. Parametri direttori di una retta. Intersezione tra rette. Parallelismo tra rette. Coseni direttori di una retta. Angolo tra rette. Perpendicolarità tra rette. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Circonferenza e rette ad essa tangenti. Trasformazioni geometriche piane e cambiamento del sistema di riferimento. Definizione e classificazione delle coniche. Intersezione di una conica con una retta. Tangenti ad una conica. Coniche riducibili. Polarità rispetto ad una conica. Intersezione tra due coniche. Fasci di coniche. Diametri, centro, asintoti, assi di una conica. Forma ridotta dell'equazione di una conica. GEOMETRIA NELLO SPAZIO AFFINE E NELLO SPAZIO EUCLIDEO: Equazione di un piano. Intersezione tra due piani. Parallelismo tra piani. Fascio di piani. Intersezione tra tre piani, stella di piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo tra rette. Complanarità tra rette. Condizione di parallelismo tra una retta ed un piano. Coseni direttori di una retta. Angolo tra due rette. Rette ortogonali. Angoli tra due piani e tra una retta ed un piano. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da un piano e di un punto da una retta. Distanza tra rette sghembe.