Obiettivi Formativi

Calcolo differenziale per funzioni a due e più variabili reali. Integrazione multipla.

Learning Goals

Differential calculus for functions with two and more real variables. Multiple integration.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Teaching Methods

Frontal lessons and exercitations.

Prerequisiti

Conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Elementi di algebra lineare.

Prerequisites

Knowledge of differential and integral calculus for real functions of a real variable. Elements of linear algebra.

Verifiche dell'apprendimento

L'esame prevede una prova scritta e un colloquio orale.

Assessment

The exam includes a written test and an oral interview.

Programma del Corso

Funzioni reali a due e più variabili; dominio, grafico, curve di livello, limiti, continuità e derivabilità. Derivate parziali e derivate direzionali. Operatori differenziali: gradiente, divergenza e rotore di una funzione a due e più variabili. Matrice jacobiana. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Differenziali di ordine superiore. Formula di Taylor per funzioni a due e più variablili. Massimi e minimi relativi, vincolati e assoluti di funzione. INTEGRAZIONE MULTIPLA Integrali doppi. Significato geometrico dellintegrale doppio. Proprietà dellintegrale doppio. Calcolo di integrali doppi su intervalli. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: coordinate polari. Integrali doppi impropri. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, lineari e nonlineari. Equazioni defferenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee. Forme differenziali esatte. Cenni alle equazioni differenziali alle derivate parziali. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali del primo e del secondo ordine.

Course Syllabus

Real functions with two and more variables; domain, graph, contour lines, limits, continuity and derivability. Partial derivatives and directional derivatives. Differential operators: gradient, divergence and rotor of a two or more variable function. Jacobian matrix. Partial derivatives of higher order. Hessian matrix. Schwarz theorem. Higher order differentials. Taylor formula for two and more variablile functions. Maximums and minimums of functions for two and more variables. MULTIPLE INTEGRATION Double integrals. Geometric meaning of the double integral. Properties of the double integral. Calculation of double integrals on intervals. Change of variables in double integrals: polar coordinates. Improper double integrals. DIFFERENTIAL EQUATIONS Ordinary differential equations of the first linear and nonlinear order. Ordinary defferential equations of the second order with constant, homogeneous and non-homogeneous coefficients. Exact differential forms. Notes on partial differential equations. Cauchy problems for differential equations of the first and second order.