Obiettivi Formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali o vettoriali di una o più variabili reali, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle più semplici equazioni differenziali ordinarie. Si insisterà sulla comprensione e sull’ assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali (anche multipli, curvilinei e di superficie), serie, equazioni differenziali lineari, oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche.

Learning Goals

The course is aimed at providing the basic knowledge of calculus (differential, integral) for real and vector-valued functions of one or several real variables, together with the fundamentals of the theory of series and with an introduction to ordinary differential equations. Lectures will be mainly focused on the comprehension of notions (definitions, results), although some proofs will still be detailed. Examples and exercises will be presented. By the end of the course the Students are expected to be able to handle correctly and without hesitation limits, derivatives, function graphs, integrals (also multiple, line and surface integrals), series, linear differential equations, and the corresponding theoretical facts.

Metodi didattici

Lezione orale frontale ed esercitazioni con applicazioni a problemi tipici dell'ingegneria.

Teaching Methods

Oral lessons and exercises with applications to problems for engineering.

Prerequisiti

Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori

Prerequisites

Basic mathematical knowledge provided by the high school

Verifiche dell'apprendimento

Verifiche in itinere ed esame finale con valutazione delle verifiche in itinere, di esercizi scritti e colloquio orale.

Assessment

Test in progress and final examination also with evaluation of ongoing tests, written exercises and oral examination.

Programma del Corso

MODULO A -INSIEMI NUMERICI -NUMERI -ASSIOMA DI COMPLETEZZA-NUMERI COMPLESSI-OPERAZIONI FRA NUMERI COMPLESSI-EQUAZIONI NUMERI COMPLESSI. -FUNZIONI-DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE-FUNZIONE INIETTIVA, SURIETTIVA E BIETTIVA-FUNZIONI COMPOSTE-FUNZIONE INVERSA-TOPOLOGIA DELLA RETTA REALI-FUNZIONI MONOTONE -FUNZIONI LIMITATE-GRAFICO DI FUNZIONI ELEMENTARI -SUCCESSIONI NUMERICHE-SUCCESSIONI MONOTONE-LIMITI DI SUCCESSIONE -TEOREMA DI UNICITA’ DEL LIMITE -ALGEBRA DEI LIMITI-TEOREMA DEL CONFRONTO -TEOREMA SULLE SUCCESSIONI MONOTONE-SUCCESSIONI ESTRATTE O SOTTOSUCCESSIONI-TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS -LIMITI DI FUNZIONE -GERARCHIA DEGLI INFINITI-CONFRONTO FRA INFINITI-PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITI -TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO-TEOREMA DEL CONFRONTO -ALGEBRA DEI LIMITI -FUNZIONI CONTINUE-ALGEBRA DELLA CONTINUITA’- TEOREMA DI CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI COMPOSTE-PUNTI DI DISCONTINUITA’-TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI -TEOREMA DI WEIERSTRASS-TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI-TEOREMA SU FUNZIONI INVERSE -CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI A VALORI REALI-DERIVATA-RETTA TANGENTE -ALGEBRA DELLE DERIVATE -TEOREMA [ DERIVABILITA’E CONTINUITA’- PUNTI DI NON DERIVABILITA’ -TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTA-TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERSE -DEFINIZIONE DI PUNTO CRITICO-MASSIMI E MINIMI RELATIVI -TEOREMA DI FERMAT -TEOREMA DI ROLLE -TEOREMA DI LAGRANGE-CONSEGUENZE AL TEOREMA DI LAGRANGE -STUDIO DI FUNZIONE-TEOREMA DI CAUCHY - TEOREMA DI DE L’HOPITAL -FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE-DERIVATE SUCCESSIVE. -CALCOLO INTEGRALE-PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE- INTEGRALE INDEFINITO-INTEGRALI ELEMENTARI-TECNICHE DI INTEGRAZIONE -INTEGRAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE-INTEGRAZIONE PER PARTI-INTEGRALE SECONDO RIEMANN-PROPRIETA DELL’INTEGRALE -TEOREMA DELLA MEDIA-TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE MODULO B 1)CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI ELEMENTI DI TOPOLOGIA IN RN - FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI: LIMITI E CONTINUITÀ - DERIVATE PARZIALI - DERIVATE DIREZIONALI – DIFFERENZIALE E FUNZIONI DIFFERENZIABILI – TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE – FUNZIONI COMPOSTE – TEOREMA DEL VALOR MEDIO - DERIVATE SUCCESSIVE - TEOREMA DI SCHWARZ – DIFFERENZIALE II – MATRICE HESSIANA – DERIVAZIONE FUNZIONI VETTORIALI – MATRICE JACOBIANA - MASSIMI E MINIMI RELATIVI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI – CONDIZIONI SUFFICIENTI PER LA DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI ESTREMO RELATIVO - ESTREMI VINCOLATI – METODO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE. 2)INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI CURVE REGOLARI – LUNGHEZZA DI UNA CURVA – ASCISSA CURVILINEA - INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE – FORME DIFFERENZIALI - INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE. 3)EQUAZIONI DIFFERENZIALI IL PROBLEMA DI CAUCHY - ESISTENZA E UNICITÀ DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY - VARI TIPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE: A VARIABILI SEPARABILI, LINEARI, DI BERNOULLI OMOGENEE - EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI – SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI DEL I ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI. 4)SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI - CONVERGENZA PUNTUALE E CONVERGENZA UNIFORME - TEOREMA DI CONTINUITÀ – TEOREMA DEL PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE – TEOREMA DEL PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI DERIVATA - SERIE DI FUNZIONI - CONVERGENZA PUNTUALE, ASSOLUTA, UNIFORME E TOTALE - TEOREMA DI CONTINUITÀ, DI DERIVABILITÀ E DI INTEGRABILITÀ - SERIE DI POTENZE – SERIE DI TAYLOR 5)CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI INTEGRALI DOPPI – DOMINI NORMALI – INTEGRALE DI FUNZIONE LIMITATA SU DOMINI NORMALI – PROPRIETÀ ELEMENTARI DELL’INTEGRALE DOPPIO – CALCOLO DEGLI INTEGRALI DOPPI: METODO DI RIDUZIONE – CAMBIAMENTO DI VARIABILI

Course Syllabus

REAL NUMBERS AND COMPLEX NUMBERS; REAL SEQUENCES; FUNCTIONS AND THEIR LIMITS; CONTINUOUS FUNCTIONS; DIFFERENTIAL CALCULUS AND INTEGRAL CALCULUS LIMITS AND CONTINUITY OF FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES TAKING VALUES IN R OR R^N. DIRECTIONAL DERIVATIVES. DIFFERENTIABLE FUNCTIONS. TANGENT SPACE. DIFFERENTIABILITY AND CONTINUITY. GRADIENT FORMULA. THE JACOBIAN MATRIX. THE CHAIN RULE. TOTAL DERIVATIVE. DIFFERENTIABILITY OF C^1 FUNCTIONS. IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN TWO OR MORE VARIABLES AND WITH ONE OR MORE CONSTRAINTS. HIGHER ORDER DERIVATIVES. SCHWARTZ THEOREM. MAX AND MIN, NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS. LAGRANGE METHOD AND MULTIPLIERS. CURVES AND CURVE LENGHT. TANGENT VECTOR. DINI’S THEOREM –LOCAL AND GLOBAL INVERTIBILITY – BOUNDS CRITICAL POINTS – LAGRANGE MULTIPLIER RULE. MAXIMA AND MINIMA IN BOUNDED REGIONS REGULAR CURVES – ARC LENGTH – LINE INTEGRAL – DIFFERENTIAL FORMS. CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND. . INTEGRATION OF VECTOR FILEDS. VECTOR FIELDS AND DIFFERENTIAL FORMS. SURFACE INTEGRALS. GAUSS-GREEN THEOREM. STOKES THEOREM AND THE DIVERGENCE THEOREM. CONSERVATIVE AND IRROTATIONAL VECTOR FIELDS. CONDITION FOR CONSERVATIVITY. TECNIQUES OF INTEGRATION: POLAR COORDINATES, SPHERICAL COORDINATES, CYLINDRICAL COORDINATES. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. PEANO AND CAUCHY THEOREMS. LINEAR EQUATIONS AND SYSTEMS. VARIATION OF CONSTANTS FORMULA. LINEAR FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS. BERNOULLI EQUATION. L INEAR SYSTEMS AND LINEAR EQUATIONS OF THE NTH ORDER WITH CONSTANT COEFFICIENTS. SEQUENCES FUNCTION – FUNDAMENTAL RESULTS ON CONVERGENCE – FUNCTIONS SERIES – CONTINUITY, DERIVABILITY AND INTEGRABILITY OF SERIES – BASIC RESULTS ON POWER SERIES – TAYLOR’ SERIES. INTEGRAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES RIEMANN’S INTEGRAL – DOUBLE AND TRIPLE INTEGRALS – CHANGE OF VARIABLE’S FORMULA FOR MULTIPLE INTEGRALS.