Obiettivi Formativi

Lo studente sarà introdotto allo studio delle Logica moderna ,enfatizzando in particolare l’approccio algebrico. Alla fine del corso sarà padrone del linguaggio della logica proposizionale e predicativa.Conoscerà i fondamentali sistemi deduttivi ed i classici teoremi più famosi,talvolta generalizzati nei testi recenti.Sarà in grado di consultare e leggere la moderna letteratura relativa agli argomenti trattati. Potrà orientarsi nella scelta di un argomento di ricerca,oggetto della tesi magistrale,da scegliere tra i temi illustrati dal docente Lo studente sarà altresì introdotto allo studio della storia del pensiero matematico dalle origini ai nostri giorni, con riferimento alle diverse problematiche epistemologiche, ai principali momenti di svolta ed evoluzione della matematica "scientifica" ed alle nuove teorie matematiche che hanno contribuito allo sviluppo delle scienze moderne. Sarà in grado di consultare e leggere la letteratura relativa agli argomenti trattati.

Learning Goals

The student will be introduced to the study of modern mathematical logic, emphasizing in particular the algebraic approach. At the end of the course he will master in the language of propositional logic and of the predicate calculus. He will know the fundamentals deductive systems and the most famous classical theorems, sometimes generalized in recent texts. He will be able to see and read the modern literature on the topics covered. He can orient himself in choosing a research topic, the subject of the master's thesis, to be chosen among the topics discussed by the teacher. Furthermore, the student will be introduced to the study of the history of mathematical thought from its origins to the present day, with reference to the various epistemological issues, the main turning points and evolution of mathematics and new mathematical theories that have contributed the development of modern science. The student will be able to consult and study the literature on the treated topics.

Metodi didattici

Le metodologie didattiche impiegate sono la didattica frontale e le esercitazioni in aula, in cui vengono approfonditi dettagliatamente alcune parti del programma. Come ausili didattici vengono usati la lavagna, il computer ed il videoproiettore.

Teaching Methods

The used teaching methods consist in lectures and exercises, where some parts of the program are treated in detail . The whiteboard, the computer and the projector are employed as didactic aids.

Prerequisiti

Conoscenze di base di logica, algebra, analisi matematica, geometria e fisica.

Prerequisites

Basic knowledges of Logic, Algebra, Calculus, Geometry, Physics.

Verifiche dell'apprendimento

L’esame è finale e si compone di una parte scritta, contenente quesiti a risposta aperta sul programma svolto, ed una orale, in cui oltre a discutere la parte scritta si approfondiscono altre parti del programma. Le due parti sono entrambe obbligatorie.

Assessment

The final examination is at the conclusion of the course and consists in a written part, containing open questions on the program carried out , and an oral part, where, in addition to discussing the written part, some other parts of the program are deepened. The two parts of the examination are obligatory.

Programma del Corso

Logica matematica: 1.Calcolo proposizionale.Algoritmi per la semantica di formule.Alberi semantici.Interpretazione e modello. Insiemi di Intikka.Teoria H di Hilbert.Teoremi della teoria H.Lemma di interpolazione.Teorema di definibilità. 2. Calcolo dei predicati.Funzioni di Skolem.Interpretazione.Modello.Modello finito. Modello infinito. Modelli standard.Modello di Herbrand. Teoria di Hilbert HP nel calcolo dei predicati.Teoremi della teoria HP. 3. Algoritmi per la semantica nel calcolo dei predicati. Alberi semantici.Teoremi di soddisfacibiltà.Assiomi logici.Formule derivate. Avatars.Teoremi di soddisfacibilità in termini di avatars.Testimoni di Henkin.Modelli di Henkin. Teorie corrette,complete. Teoremi di compattezza. Teoremi di Goedel.Elementi di teoria dei linguaggi.Strutture. Fondamenti del pensiero matematico: Le origini della matematica. La matematica greco-ellenistica. Pitagora. Platone. La scienza Aristotelica. La geometria Euclidea. La questione delle parallele e le diverse possibili interpretazioni. La scienza ellenistica. Archimede. Apollonio. La cosmologia. La crisi della scienza ellenistica. Il Medio Evo ed il Rinascimento. Il sistema cosmologico Copernicano e Galileo. Cartesio e la geometria analitica. Newton e l'analisi infinitesimale. Leibnitz. L’illuminismo e la matematica. Laplace, Eulero, Fourier, Lagrange e Cauchy. La questione delle parallele in età moderna e le geometrie non euclidee. Gauss, Riemann. Weierstrass e l’analisi moderna. Le rivoluzioni scientifiche del Novecento. Le teorie della probabilità, la logica matematica, l’algebra moderna, l’analisi funzionale, la geometria differenziale e le moderne teorie matematiche che hanno contribuito allo sviluppo delle nuove scienze. Hamilton, Poincaré, Boole, Banach, Hilbert.

Course Syllabus

Mathematical Logic: 1.Propositional calculus..Algorithms for the semantics of formulas.Semantic trees.Interpretations and models. Sets of Intikka. Theory of Hilbert.Theorems of H.theory . Interpolation lemma.Definability theorem. 2. Predicate Calculus. Skolem functions.Models.Finite models.Infinite models. Herbrand models. Theory HP of Hilbert of the predicate calcule.Theorems in the predicate calculus of the HP theory. Logic axioms.Tautologies. 3. Algorithms for the semantics of formulas in the predicate calculus. Semantic trees .Satisfaction theorems for formulas.Derived formules. Avatars.Satisfaction theorems in terms of avatars. Henkin witness.Models of Henkin. Theories :correct theory, complete theory,consistent theory. Compactness theorems.Goedel theorems .First elements of the language theory.Structures. Hystory anf fundaments of the mathematical thought: The origins of mathematics. The greek-hellenistic mathematics. Pythagoras. Plato. Aristotelian science. The Euclidean geometry. The question of the parallels and different possible interpretations. The hellenistic science. Archimedes. Apollonius. The cosmology. The crisis of hellenistic science. The Middle Ages and the Renaissance. The Copernican cosmological system and Galileo. Descartes and analytic geometry. Newton and calculus. Leibnitz. The Enlightenment and Mathematics. Laplace, Euler, Fourier, Lagrange and Cauchy. The question of parallels in the modern age and non-Euclidean geometries. Gauss, Riemann. Weierstrass and modern analysis. Scientific revolutions of the twentieth century. The theories of probability, mathematical logic, modern algebra, functional analysis, differential geometry and the modern mathematical theories that have contributed to the development of the new sciences. Hamilton, Poincaré, Boole, Banach, Hilbert.