Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è fornire agli studenti i risultati fondamentali dell'Analisi funzionale. La teoria verrà sempre accompagnata da esempi e applicazioni significative.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti sono elementi di Topologia e di Analisi matematica di base, insieme a solide basi di teoria della misura e dell'integrazione.

Verifiche dell'apprendimento

Esame orale

Programma del Corso

Spazi metrici totalmente limitati. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Metrica della convergenza uniforme. Spazio delle funzioni limitate e delle funzioni totalmente limitate. Caratterizzazione della totale limitatezza di una famiglia di funzioni. Famiglia di funzioni equiuniformemente continue. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano per il problema di Cauchy. Spazi vettoriali topologici localmente convessi. Spazi normati di dimensione finita. Lemma di Riesz. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato. Operatori lineari tra spazi normati. Lo spazio degli operatori lineari e continui tra due spazi normati. Duale topologico di uno spazio normato. Il teorema della mappa aperta. Il teorema dell’inverso continuo. Il teorema delle due norme. Il teorema del grafico chiuso. Lemma di Osgood. Il principio dell’uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Teorema di Hahn-Banach e sue conseguenze. Coppie di insiemi separati. Teoremi di separazione. La topologia σ di uno spazio vettoriale. La topologia σ su un sottospazio totale del duale algebrico di uno spazio vettoriale. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff localmente convesso. Mappa canonica e sue proprietà. Topologia debole star. Polari e loro proprietà. Il teorema della bipolare. Il teorema di Banach-Alaoglu. Il Teorema di Goldstine. Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman-Pettis. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli spazi di Hilbert. Cenni alle disequazioni variazionali. Teorema di Stampacchia. Teorema di Lax-Milgram. Insiemi ortonormali. Serie di Fourier negli spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili. Spazi Lp (1≤p≤∞). Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianze di Clarkson. Duale topologico degli spazi L^p. Riflessività degli spazi L^p. Alcuni teoremi di densità negli spazi L^p. Separabilità degli spazi L^p. Prodotto di convoluzione. Supporti e loro proprietà. Mollificatori. Uso dei mollificatori nei prodotti di convoluzione. Criterio di compattezza forte in L^p: il Teorema di Riesz-Fréchet-Kolmogorov. Ortogonalità negli spazi di Banach. Operatori lineari non limitati. Nucleo, rango e grafico di un operatore. Aggiunto di un operatore e sue proprietà. Operatori compatti. Teorema di Schauder sull’operatore aggiunto. La teoria di Riesz-Fredholm. Risolvente, spettro e autovalori di un operatore. Spettro di un operatore compatto. Operatori lineari autoaggiunti su spazi di Hilbert. Operatori simmetrici. Decomposizione spettrale degli operatori compatti autoaggiunti compatti su spazi di Hilbert. Lemma di Gronwall. Teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard. Operatori massimali monotoni e loro proprietà. Risolvente e regolarizzata Yosida di un operatore massimale monotono e loro proprietà. Teorema di Hille-Yosida. Autoaggiunto di un operatore non limitato su uno spazio di Hilbert. Teorema di Hille-Yosida per un operatore non limitato autoaggiunto su uno spazio di Hilbert. Spazi di Sobolev e formulazione variazionale di un problema ai limiti in dimensione uno. Derivabilità del senso di Gâteaux e nel senso di Fréchet. Lo spazio di Sobolev W1,p(]a,b[). Completezza, riflessività e separabilità di W1,p(]a,b[). Lo spazio W01,p(]a,b[). Un problema ordinario ai limiti del secondo ordine.