Obiettivi Formativi

Fornire strumenti e contenuti da utilizzare nei corsi successivi di carattere chimico e fisico. Acquisizione di un approccio metodologico corretto all'apprendimento di discipline scientifiche, basato sull'uso del linguaggio e del ragionamento matematico come strumento per l'interpretazione del mondo reale e non come bagaglio astratto di nozioni.

Learning Goals

Provide tools and contents to be used in the following courses of chemical and physical character. Acquisition of a correct methodological approach to learning of scientific disciplines, based on the use of language and mathematical reasoning as a tool for the interpretation of the real world and not as abstract of notions.

Teaching Methods

The course includes theoretical lectures, accompanied by blackboard exercises carried out by the teacher and students on all the topics.

Prerequisiti

Algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi. Risoluzione di equazione e disequazioni elementari. Il concetto di funzione: funzioni elementari, loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni. Elementi di geometria analitica del piano: retta, circonferenza, parabola. Elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione. Elementi di insiemistica.

Prerequisites

Elementary Algebra: monomials, polynomials, functions razional, powers, roots, exponential and logarithm. Equation resolution and elementary inequalities. The concept of function: elementary functions, their graphics, graphic interpretation of inequalities. Elements of analytic geometry of the plane: straight, circle, parabola.

Verifiche dell'apprendimento

Esame scritto per verificare la capacità di applicare gli strumenti forniti dalla teoria alla la risoluzione di problemi numerici concreti. Esame orale per verificare la conoscenza delle definizioni e dei risultati di base della teoria.

Assessment

Written exam to check the ability to apply the basic toos of calculus to the solution of concrete numerical exercises. Oral exam to verify the knowledge and understanding of the basic definitions and theorems of calculus.

Programma del Corso

PARTE I ELEMENTI DI BASE &1. Elementi di teoria degli insiemi. Simbolismo e diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme di un insieme. Insieme delle parti. Operazioni fra insiemi: unione, intersezione, differenza e differenza simmetrica. Insieme complementare. & 2. Relazioni fra insiemi. Prodotto cartesiano fra insiemi. Grafo di una relazione. Relazioni inverse. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Relazioni d’ordine. & 3. Funzioni. Applicazione o funzione. Grafo di una funzione: dominio e codominio. Funzioni iniettive, surgettive e biunivoche. Funzione composta e sue proprietà. Funzione inversa. & 4. Il campo dei numeri reali. Assiomi dei numeri reali. Sottoinsiemi limitati di R. Retta reale estesa. Intervalli. Punto interno ad un insieme. Punto isolato di un insieme. Punto di accumulazione di un insieme. Numeri naturali. Numeri interi. Numeri razionali. Numeri irrazionali. PARTE II° FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE & 1. Funzioni reali di variabile reale. Concetto di funzione reale di variabile reale. Massimo e minimo di una funzione. Funzioni monotòne. Funzioni inverse. Funzioni elementari: funzione esponenziale; funzione logaritmica; funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzione y = [f(x)] g(x). Ricerca del dominio di funzioni reali. & 2. Limiti di funzioni. Definizione di limite. Vari casi di definizione di limite. Teoremi fondamentali sui limiti di funzioni: unicità del limite, della permanenza del segno, di limitatezza locale, I e II teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti laterali. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. & 3. Funzioni continue. La nozione di continuità per le funzioni reali di variabile reale. Proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass (solo enunciato). Teorema di continuità delle funzioni composte. Teorema di continuità delle funzioni inverse (solo enunciato). Punti di discontinuità di una funzione e loro classificazione. Calcolo di alcuni limiti fondamentali. & 4. Derivate delle funzioni reali di variabile reale. Definizione di derivata. Significato geometrico e significato meccanico di derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Regola di derivazione delle funzioni composte e sue applicazioni. Regola di derivazione delle funzioni inverse e sue applicazioni. Derivate di ordine superiore. &5. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Punti di massimo e di minimo relativo. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (o del valor medio) e sue conseguenze. Funzioni crescenti e decrescenti. Teoremi di L’Hopital. Analisi dei punti stazionari. Convessità e concavità di una funzione in un punto. Punti di flesso. Asintoti. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. &7. Integrali delle funzioni reali di variabile reale. Funzioni primitive. Integrale indefinito. Ricerca delle primitive di una funzione : integrazione per decomposizione in somma; integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Integrale definito (secondo Riemann). Teoremi del calcolo integrale : Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli). Calcolo di aree. &8 . Equazioni differenziali del I ordine. Forma normale e non normale di un’equazione differenziale . Integrazione diretta. Separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari omogenee e non. Omogenee. Equazione di Bernoulli. Problema di Cauchy.

Course Syllabus

PART I BASICS & 1. Elements of set theory. Symbolism and Euler-Venn diagrams. Subset of a set. Operations between sets: union, intersection, difference and symmetric difference. complementary set. & 2. Relations between sets. Cartesian product of sets. Graph of a relationship. Inverse relations. equivalence relations. equivalence classes. order relations. & 3. Functions. Application or function. Graph of a function: domain and range. Injective, surjective and bijective function. Composite function and its properties. inverse function. & 4. The field of real numbers. Axioms of real numbers. Limited subsets of R. Straight real extended. Intervals. Internal point to a set. Isolated point of a set. accumulation point of a set. natural numbers. Integers. rational numbers. irrational numbers. PART II FUNCTIONS OF REAL VARIABLE & 1. Real functions of real variable. Concept of real function of a real variable. Maxima and minima. Monotone functions. Inverse functions. elementary functions: exponential function; logarithmic function; trigonometric functions and their inverses. y = [f (x)] g (x). domain search of real functions. & 2. Limits of functions. definition of limit. Various cases of definition of limit. fundamental theorems on limits of functions: uniqueness of the limit, the sign permanence, local limitations, I and II comparison theorem. limits on operations. indeterminate forms. lateral limits. Infinitesimal and infinite, and their comparison. & 3. Continuous functions. The notion of continuity for real functions of real variable. Properties of continuous functions. Weierstrass (only statement). Theorem of continuity of composite functions. Continuity of inverse functions theorem (only statement). points of discontinuity of a function and their classification. Calculation of some fundamental limitations. & 4. Derivatives of real functions of real variable. Definition of derivative. mechanical and geometrical meaning of the derivative meaning. Derivatives of elementary functions. Rules of derivation. Rule of derivation of composite functions and its applications. Rule of the functions derived inverse and its applications. Higher order derivatives. & 5. fundamental theorems of the differential calculus. of maximum points and relative minimum. Fermat's theorem. Rolle's theorem. Lagrange's theorem (or mean value) and its consequences. increasing and decreasing functions. Theorems of L'Hopital. Analysis of stationary points. Convexity and concavity of a function at a point. inflection points. Asymptotes. Study the graph of a real function of a real variable. & 7. Integrals of real functions of real variable. primitive functions. Indefinite Integral. Search primitive of a function: integration sum decomposition; integration by parts; integration by substitution. definite integral (Riemann). Theorems of integral calculus: Theorem average. fundamental theorem of calculus (or Torricelli). Calculation of areas. & 8. Differential equations of the first order. normal and not normal differential equation form. Direct integration. Separation of variables. homogeneous linear differential equations and not. Homogeneous. Bernoulli equation. Cauchy problem.