Obiettivi Formativi

Il corso permette di acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico e maturare un’analisi critica dei risultati ottenuti.

Learning Goals

This course enables students to gain skill in the study of numerical algorithms and their implementation in scientific computing environment and to mature a critical analysis of the results.

Metodi didattici

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali, gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso sono implementati in ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico (come MATLAB, Octave e Scilab) al fine di permettere la necessaria sperimentazione per stimolare e acquisire l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Teaching Methods

The course lectures are supplemented by practical exercises in the laboratory, during which, algorithms and numerical methods, studied during the course, are implemented in development environments for scientific computing (like Matlab, Octave and Scilab), in order to allow for the necessary experimentation to stimulate and acquire the critical analysis of the results obtained.

Prerequisiti

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali, gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso sono implementati in ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico (come MATLAB, Octave e Scilab) al fine di permettere la necessaria sperimentazione per stimolare e acquisire l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Prerequisites

The course lectures are supplemented by practical exercises in the laboratory, during which, algorithms and numerical methods, studied during the course, are implemented in development environments for scientific computing (like Matlab, Octave and Scilab), in order to allow for the necessary experimentation to stimulate and acquire the critical analysis of the results obtained.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche sull'apprendimento si basano su una serie di esercizi sugli argomenti del programma divisi in gradi gruppi, che prevedono l'implementazione degli algoritmi e la verifica di tali metodi numerici su insiemi di dati test. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. L’esame finale è orale.

Assessment

The tests are based on a series of exercises on the topics of the program, which provide for the implementation of the algorithms and the verification of these numerical methods on different test data sets. The final exam is oral.

Programma del Corso

APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI, CURVE, SUPERFICI E DATI. Approssimazione di una funzione nel senso dei minimi quadrati. Approssimazione ai minimi quadrati discreti con Spline lineari e cubiche. Funzioni B-Spline. Spline parametriche. Ricostruzione di curve. Interpolazione trigonometrica e trasformata discreta di Fourier. APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA LINEARE NUMERICA. Sistemi sovra-determinati: fattorizzazione QR. Metodo di Householder e metodo di Givens. Decomposizione in valori singolari di una matrice (SVD). SVD troncata e applicazioni. Minimi quadrati e SVD. Norma di matrici rettangolari. Pseudo-inversa di Moore-Penrose. Indice di condizionamento di una matrice. METODI PER LA DETERMINAZIONE DEGLI AUTOVALORI. Teoremi di localizzazione. Metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. Cenni sul metodo QR. RICERCA DI RADICI DI EQUAZIONI E SISTEMI NON LINEARI. Metodo di bisezione. Metodi delle corde, secanti, Regula Falsi. Metodi di iterazione funzionale. Convergenza. Metodo di Newton. EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali di ordine p. Metodi di Eulero, Eulero modificato e Eulero-Heum. Le formule di Runge-Kutta. Metodi multistep. Le formule di Adams-Bashfort e di Adams-Moulton. Consistenza, Convergenza e Stabilità delle formule.

Course Syllabus

APPROXIMATION OF FUNCTIONS, CURVES, SURFECES AND DATA. Approximation of a function in the sense of least squares. Discrete least squares approximation by means linear and cubic Splines. B-Splines. Parametric Spline functions. Reconstruction of curves. Trigonometric interpolation and discrete Fourier transform. ADVANCED NUMERICAL LINEAR ALGEBRA. Over-determined systems: QR factorization. Method of Householder. Method of Givens. Singular value decomposition of a matrix (SVD). Truncated SVD and applications. Least squares and SVD. Norms of rectangular matrices. Pseudo-inverse of Moore-Penrose. Condition number of a matrix. COMPUTATION OF EIGENVALUES AND EIGENVECTORS. Localization theorems. Power method. Inverse power method. Notes on the QR method. ITERATIVE SOLUTIONS OF NON-LINEAR EQUATIONS. Bisection method. Methods of the Chord, Secant, False Position. Functional iteration methods. Convergence. Newton's method. NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. Equations and systems of ordinary differential equations of p order. Methods of Euler, modified Euler and Euler-Heum. Runge-Kutta methods. Multistep methods. Methods of Adams-Bashfort and Adams-Moulton. Consistency, Convergence and Stability of difference methods.