Obiettivi Formativi

Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica dei sistemi meccanici, dalla meccanica newtoniana fino allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà più rilevanti (statiche e dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali mediante linearizzazione.

Learning Goals

At the end of the course, after the the final exam, the student has the fundamental knowledge about the physical-mathematical modelization of mechanical systems, form the Newtonian mechanics to the lagrangian-hamiltonian scheme of the analytical mechanic. In particular he has acquired the competence of constructing, comparing and using mathematical models for mechanical systems with few degrees of freedom (material point, rigid body, holonomous system) of funding the most relevant properties (static and dynamic) and of obtaining correct local approximations by means of linearization.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni mediante lavagna e videoproiettore

Teaching Methods

Lessons about theory and exercises by means of blackboard and videoprojector.

Prerequisiti

Conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica, Geometria e Fisica

Prerequisites

Knowledge of the contents of Mathematical Analysis, Geometry and Physic courses.

Verifiche dell'apprendimento

Prova scritta sugli argomenti trattati durante le esercitazioni e successivo esame orale su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Attività di ricevimento studenti durante l'intero anno accademico.

Assessment

Written final examination and discussion.

Programma del Corso

Componente cartesiana di un vettore. Prodotto scalare-vettore. Somma di vettori. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Doppio prodotto vettoriale. Risultante di un sistema di vettori. Momento polare e assiale. Asse centrale. Coppie. Operazioni elementari. Riduzione di un sistema di vettori applicati. Sistemi piani di vettori. Sistemi di vettori paralleli Matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici di rotazione e trasformazioni di similitudine. Autovalori ed autovettori. Matrici definite di segno. Vettori funzione. Versore tangente, normale principale, binormale. Curvatura, triedro di Frenet. Cinematica del punto: Velocità, accelerazione e loro proprietà. Spostamenti elementari ed effettivi. Moti piani. Moto rigido. Equazioni cartesiane di un moto rigido. Angoli di Eulero. Formule di Poisson. Velocità angolare. Legge di distribuzione delle velocità, delle accelerazioni e degli spostamenti elementari. Classificazione e proprietà caratteristiche dei moti rigidi. Atti di moto. Teorema di Mozzi. Teorema di addizione delle velocità. Teorema di derivazione relativa. Teorema di Coriolis. Teorema di addizione delle velocità angolari. Mutuo rotolamento di due superfici rigide. Traiettorie polari nei moti rigidi piani. Vincoli e loro classificazione. Rappresentazione analitica. Sistemi olonomi. Spostamenti possibili e virtuali. Concetto di massa. Baricentro di un sistema particellare e continuo. Teoremi di ubicazione del baricentro. Momento d'inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti. Ellissoide e matrice d'inerzia.Giroscopi. Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica. Teorema del baricentro e teoremi di Koenig. Modelli e classificazione delle forze. Definizione di lavoro elementare ed effettivo. Lavoro lungo un cammino finito per forze generali e forze posizionali non conservative. Forze conservative. Potenziale ed energia potenziale. Sistemi di forze e lavoro di un sistema di forze. Lavoro virtuale nel caso di corpi rigidi e di sistemi olonomi. Principio di inerzia. Principio di proporzionalità tra forza e accelerazione. Principio di azione e reazione. Principio del parallelogramma delle forze. Postulato delle reazioni vincolari. Principio di relatività galileiana. Leggi di Keplero e principio di gravitazione universale. Equilibrio di un punto materiale. Equazioni di un punto vincolato su una superficie. Equilibrio rispetto ad un sistema non inerziale. Meccanica terrestre: peso. Statica del corpo rigido Problema del corpo rigido pesante appoggiato su un piano orizzontale liscio. Cenni sull'equilibrio di travi e fili. Principio delle reazioni vincolari: Principio dei lavori virtuali. Stabilità dell'equilibrio. Diagramma di biforcazione. Equilibrio di un sistema olonomo. Equazioni cardinali della dinamica. Equazioni di Eulero. A integrazione del programma vengono proposti alcuni esempi ed esercizi svolti mediante l'ausilio del software Matlab

Course Syllabus

Cartesian component of a vector. Scalar-vector product. Vectorial sum. Scalar, vectorial and mixed product. Double vectorial product. Resultant of a vector system. Polar and axial moment. Central axis. Couples. Elementary operations. Reduction of a system of applied vectors. Plane vector system. Parallel vector system. Mass. Baricenter of a particle and a continuous system. Theorem of barycenter. Inertia moments. Huygens-Steiner theorem. Inertial moment with respet to concurrent axis. Ellipsoid and inertial matrix. Gyroscopes. Function vector. Tangent vector, principal normal, binormal. Curvature, Frenet-Serret frame. Velocity, accelerations e their properties. Elementary and effective displacements. Plane motions. Rigid motion. Cartesian equations of a rigid motion. Euler angles. Poisson formulas. Angular velocity. Velocity, acceleration and elementary displacement distribution laws. Classification and characteristic properties of rigid motions. Motion. Mozzi theorem. Constraints and their classification. Analytic representation. Holonomous systems. Admissible and virtual displacements. Momentum. Momentum of momentum. Kinetic energy. Theorem of the baricenter and Koenig theorems. Models and classifications of forces. Definition of elementary and actual work. Work along a finite path for general forces and positional non conservative forces. Conservative forces. Potential and potential energy. Force systems and work of a force system. Virtual work for rigid bodies and holonomous systems. Inertia principle. Proportionality principle between force and acceleration. Principle of action and reaction. Pinciple of the force parallelogram. Postulate of constraint reactions. Equilibrium of a material point. Dynamic cardinal equations. Euler equations. Some examples and exercitations using the Matlab software will be proposed.