Obiettivi Formativi

Il corso mira all'acquisizione degli elementi di base di analisi matematica: teoria delle funzioni di una e più variabili, equazioni differenziali, integrali di funzioni di una e più variabili, curve e integrali curvilinei,superfici. Gli obiettivi formativi del corso consistono nell'acquisizione dei risultati e delle tecniche dimostrative, nonché nella capacità di utilizzare i relativi strumenti di calcolo. Lo scopo principale del corso è quello di fornire e sviluppare gli strumenti analitici utili per poter approcciare con rigore scientifico i problemi applicati che lo studente incontrerà nel proseguimento dei suoi studi. La parte teorica del corso sarà presentata in modo rigoroso ma conciso e accompagnata da una parallela attività di esercitazione volta a favorire la comprensione dei concetti.

Learning Goals

The purpose of the course is the acquisition of the basic elements of mathematical analysis: theory of functions of one and more variables, differential equations, integral of functions of one and more variables, curves and integrals, surfaces. The main aim is the acquisition of results and technical proofs, as well as the ability to use calculation tools. The main purpose of the course is to provide and develop the analytical tools useful to approach applied problems that students will encounter in the following courses. The theoretical part of the course will be presented in a rigorous but concise together with exercise activities aimed to the understanding of the concepts.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Teaching Methods

Lectures and Exercises

Prerequisiti

Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori

Prerequisites

Basic mathematical knowledge provided by the high school

Verifiche dell'apprendimento

Prove scritte in itinere. Prova scritta finale. Prova orale.

Assessment

Written tests. Final written test. Oral examination.

Programma del Corso

MODULO A -INSIEMI NUMERICI -NUMERI REALI-ASSIOMA DI COMPLETEZZA- -FUNZIONI-DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE-FUNZIONE INIETTIVA, SURIETTIVA E BIETTIVA-FUNZIONI COMPOSTE-FUNZIONE INVERSA-TOPOLOGIA DELLA RETTA REALI-FUNZIONI MONOTONE -FUNZIONI LIMITATE-GRAFICO DI FUNZIONI ELEMENTARI -SUCCESSIONI NUMERICHE-SUCCESSIONI MONOTONE-LIMITI DI SUCCESSIONE -TEOREMA DI UNICITA’ DEL LIMITE -ALGEBRA DEI LIMITI-TEOREMA DEL CONFRONTO -TEOREMA SULLE SUCCESSIONI MONOTONE-SUCCESSIONI ESTRATTE O SOTTOSUCCESSIONI-TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS -LIMITI DI FUNZIONE -GERARCHIA DEGLI INFINITI-CONFRONTO FRA INFINITI-PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITI -TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO-TEOREMA DEL CONFRONTO -ALGEBRA DEI LIMITI -FUNZIONI CONTINUE-ALGEBRA DELLA CONTINUITA’- TEOREMA DI CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI COMPOSTE-PUNTI DI DISCONTINUITA’-TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI -TEOREMA DI WEIERSTRASS-TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI-TEOREMA SU FUNZIONI INVERSE -CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI A VALORI REALI-DERIVATA-RETTA TANGENTE -ALGEBRA DELLE DERIVATE -TEOREMA [ DERIVABILITA’E CONTINUITA’- PUNTI DI NON DERIVABILITA’ -TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTA-TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERSE -DEFINIZIONE DI PUNTO CRITICO-MASSIMI E MINIMI RELATIVI -TEOREMA DI FERMAT -TEOREMA DI ROLLE -TEOREMA DI LAGRANGE-CONSEGUENZE AL TEOREMA DI LAGRANGE -STUDIO DI FUNZIONE-TEOREMA DI CAUCHY - TEOREMA DI DE L’HOPITAL -FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE-DERIVATE SUCCESSIVE. -CALCOLO INTEGRALE-PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE- INTEGRALE INDEFINITO-INTEGRALI ELEMENTARI-TECNICHE DI INTEGRAZIONE -INTEGRAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE-INTEGRAZIONE PER PARTI-INTEGRALE SECONDO RIEMANN-PROPRIETA DELL’INTEGRALE -TEOREMA DELLA MEDIA-TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE MODULO B CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI ELEMENTI DI TOPOLOGIA IN RN - FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI: LIMITI E CONTINUITÀ - DERIVATE PARZIALI - DERIVATE DIREZIONALI – DIFFERENZIALE E FUNZIONI DIFFERENZIABILI – TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE – FUNZIONI COMPOSTE – TEOREMA DEL VALOR MEDIO - DERIVATE SUCCESSIVE - TEOREMA DI SCHWARZ – DIFFERENZIALE II – MATRICE HESSIANA – DERIVAZIONE FUNZIONI VETTORIALI – MATRICE JACOBIANA - MASSIMI E MINIMI RELATIVI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI CURVE REGOLARI – LUNGHEZZA DI UNA CURVA – ASCISSA CURVILINEA - INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE – FORME DIFFERENZIALI - INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE. CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI INTEGRALI DOPPI – DOMINI NORMALI – INTEGRALE DI FUNZIONE LIMITATA SU DOMINI NORMALI – PROPRIETÀ ELEMENTARI DELL’INTEGRALE DOPPIO – CALCOLO DEGLI INTEGRALI DOPPI: METODO DI RIDUZIONE – CAMBIAMENTO DI VARIABILI

Course Syllabus

REAL NUMBERS; REAL SEQUENCES; FUNCTIONS AND THEIR LIMITS; CONTINUOUS FUNCTIONS; DIFFERENTIAL CALCULUS AND INTEGRAL CALCULUS LIMITS AND CONTINUITY OF FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES TAKING VALUES IN R OR R^N. DIRECTIONAL DERIVATIVES. DIFFERENTIABLE FUNCTIONS. TANGENT SPACE. DIFFERENTIABILITY AND CONTINUITY. GRADIENT FORMULA. THE JACOBIAN MATRIX. THE CHAIN RULE. TOTAL DERIVATIVE. DIFFERENTIABILITY OF C^1 FUNCTIONS. IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN TWO OR MORE VARIABLES AND WITH ONE OR MORE CONSTRAINTS. HIGHER ORDER DERIVATIVES. SCHWARTZ THEOREM.CURVES AND CURVE LENGHT. TANGENT VECTOR. REGULAR CURVES – ARC LENGTH – LINE INTEGRAL – DIFFERENTIAL FORMS. CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND. INTEGRATION OF VECTOR FILEDS. VECTOR FIELDS AND DIFFERENTIAL FORMS. SURFACE INTEGRALS. GAUSS-GREEN THEOREM. STOKES THEOREM AND THE DIVERGENCE THEOREM. CONSERVATIVE AND IRROTATIONAL VECTOR FIELDS. CONDITION FOR CONSERVATIVITY. TECNIQUES OF INTEGRATION. INTEGRAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES RIEMANN’S INTEGRAL – DOUBLE AND TRIPLE INTEGRALS – CHANGE OF VARIABLE’S FORMULA FOR MULTIPLE INTEGRALS.