Obiettivi Formativi

Il corso si prefigge di far acquisire padronanza nello studio di algoritmi numerici e della loro implementazione in ambiente di calcolo scientifico e maturare un’analisi critica dei risultati ottenuti.

Learning Goals

This course enables students to gain skill in the study of numerical algorithms and their implementation in scientific computing environment and to mature critical analysis of the results obtained.

Metodi didattici

Le lezioni del corso sono integrate da esercitazioni pratiche svolte in laboratorio, durante le quali, sono fornite le conoscenze del linguaggio di programmazione FORTRAN degli ambienti di sviluppo per il calcolo scientifico (come MATLAB, Octave e Scilab) al fine di permettere la necessaria implementazione e sperimentazione di tutti gli algoritmi e i metodi numerici studiati durante il corso, viene, anche, stimolata e acquisita l’analisi critica dei risultati ottenuti.

Teaching Methods

The course lectures are supplemented by practical exercises in the laboratory, during which, the knowledge of the programming language FORTRAN and development environments for scientific computing (like Matlab, Octave and Scilab) are given, in order to allow for the necessary implementation and testing of all the algorithms and numerical methods studied during the course. Critical analysis of the results obtained is stimulated and gained.

Prerequisiti

Tutte le conoscenze fornite dai corsi di Analisi Matematica, Geometria I, Laboratorio di Analisi Numerica e Fondamenti di Informatica.

Prerequisites

All the knowledge provided by the courses of Calculus, Geometry I, Foundations of Computer Science and Numerical Analysis Laboratory.

Verifiche dell'apprendimento

Le verifiche sull'apprendimento si basano su una serie di esercizi sugli argomenti del programma divisi in gradi gruppi, che prevedono l'implementazione, anche con uso di Librerie Scientifiche (come IMSL) degli algoritmi e la verifica di tali metodi numerici su insiemi di dati test. In tal modo: 1) si accertano le conoscenze acquisite dagli studenti su ogni singolo argomento del programma; 2) si verifica la capacità degli studenti di applicare a particolari problemi la teoria studiata. La soglia di sufficienza per il giudizio di laboratorio si ottiene svolgendo un esercizio, comprensivo dell’analisi dei risultati ottenuti da almeno due differenti insiemi di dati, per ognuno dei gruppi di esercizi. In caso di insufficienza sarà richiesta una ulteriore prova di laboratorio su esercizio specifico che dovrà essere svolta prima dell’esame finale. L’esame finale è orale.

Assessment

The tests are based on learning of a series of exercises on the topics of the program divided into groups, which provide for the implementation, also with use of scientific libraries (as IMSL), of the algorithms and the verification of these numerical methods on data sets. The pass mark for the judgment is obtained by performing a laboratory exercise, including analysis of the results obtained from at least two different data sets, for each of the groups of exercises. In case of failure will be required further laboratory testing of specific exercise to be carried out before the final exam. The final exam is oral.

Programma del Corso

ALGEBRA LINEARE NUMERICA: METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI. Risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Fattorizzazione di una matrice nel prodotto di due matrici triangolari. Il metodo di Gauss per risolvere un sistema lineare normale. Complessità computazionale dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss – Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione. Inversione di una matrice con il metodo di Gauss-Jordan. Matrici simmetriche definite positive. Algoritmo di Cholesky. Matrici sparse. Risoluzione di un sistema tridiagonale. Risoluzione di sistemi lineari sovra-determinati. ALGEBRA LINEARE NUMERICA: METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI.  Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari normali non singolari. Velocità di convergenza per i metodi iterativi – Condizioni di convergenza di un metodo iterativo. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE DI DATI SPERIMENTALI. Formulazione del problema. Polinomio di interpolazione: formula di Lagrange. Differenze divise. Polinomio di interpolazione: formula di Newton. Complessità computazionale degli algoritmi di interpolazione polinomiale. Stima dell’errore nell’interpolazione polinomiale. Il fenomeno di Runge. Approssimazione ai minimi quadrati. Approssimazione polinomiale. Funzioni Spline. Funzioni b-spline. Interpolazione e approssimazione con spline lineari e cubiche. INTEGRAZIONE NUMERICA. Formule di quadratura di Newton-Cotes. Errore nelle formule di quadratura e grado di precisione. Formule di quadratura composite. Formule di quadratura gaussiane (cenni). RICERCA DI RADICI DI EQUAZIONI. Metodi di bisezione e Regula Falsi. Teoremi di convergenza. Metodi di iterazioni funzionale. Criteri di arresto. Metodi delle corde. Metodo di Newton. Metodo delle secanti. Ordine di convergenza. Indice di efficienza del metodo. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di Cauchy. Metodi numerici ad un passo ed a più passi. Errori nelle formule ad un passo. Stima automatica del passo di integrazione. Convergenza, Consistenza e Stabilità delle formule.

Course Syllabus

NUMERICAL LINEAR ALGEBRA: DIRECT METHODS FOR LINEAR SYSTEMS. Solving linear systems. Factorization of a matrix. Method of Gauss . Computational cost of the algorithm of Gauss. Stability of factorization algorithms. Inversion of a matrix, method of Gauss-Jordan. Symmetric positive definite matrices. Cholesky algorithm. Sparse matrices. Solving a tridiagonal system. Solving linear systems over-determined. NUMERICAL LINEAR ALGEBRA: ITERATIVE METHODS FOR LINEAR SYSTEMS. Iterative methods for solving linear systems of ordinary non-singular. Convergence for iterative methods. Method of Jacobi. Method of Gauss-Seidel. INTERPOLATION AND APPROXIMATION OF EXPERIMENTAL DATA. Formulation of the problem. Polynomial interpolation: Lagrange's formula. Divided differences. Polynomial Interpolation: Newton's formula. Computational cost of the polynomial interpolation algorithms. Error of polynomial interpolation. Runge's phenomenon. Least squares approximation. Polynomial approximation. Spline Functions. B-spline functions. Linear and cubic spline interpolation and approximation. NUMERICAL INTEGRATION. Quadrature formulas of Newton-Cotes. Error in quadrature formulas and degree of precision. Composite quadrature formulas. Gaussian quadrature formulas, ROOTS OF EQUATIONS. Methods of bisection and Regula False. Convergence theorems. Functional iterations methods. Methods of the Chord. Newton's method. Secant method. Order of convergence. Index of efficiency of the methods. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. The Cauchy problem. One-step and multistep numerical methods. One-step formula errors. Automatic estimation of the integration step. Convergence, Consistency and Stability of formulas.