Obiettivi Formativi

Acquisizione di metodologie di base utili allo studio e alla formalizzazione matematica di classici problemi di Fisica matematica, di interesse interdisciplinare, formulati attraverso equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali.

Learning Goals

Acquisition of basic methodologies useful in the study and mathematical formalization of classical problems of mathematical physics, of interdisciplinary interest, expressed through partial differential equations.

Metodi didattici

Lezioni teoriche ed esercitazioni guidate

Teaching Methods

Theoretical and practical lessons

Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale. Analisi funzionale.

Prerequisites

Differential and integral calculus. Functional analysis.

Verifiche dell'apprendimento

Verifica orale

Assessment

Oral

Programma del Corso

MODULO A. Elementi di elettrodinamica classica. Introduzione alla descrizione dei fenomeni elettromagnetici. Equazioni di Maxwell. Potenziali elettromagnetici. Energia del campo elettromagnetico. Equazione di D’Alembert. Problemi di Dirichlet, Neumann, Robin per l’equazione di D’Alembert. Onde elettromagnetiche piane. Propagazione delle onde elettromagnetiche nello spazio. Onde sferiche: formula di Poisson. Onde cilindriche: metodo di discesa di Hadamard. Equazione non omogenea delle onde: principio di Duhamel. Onde di discontinuità e propagazione ondosa non lineare. Equazioni differenziali a derivate parziali quasi lineari del primo ordine. Problema di Cauchy. Metodo delle caratteristiche. Equazioni differenziali a derivate parziali del secondo ordine. Metodo di Riemann per la soluzione delle equazioni iperboliche. Problema di Goursat. Sistemi 2x2 quasi lineari iperbolici: trasformazione odografa ed invarianti di Riemann. Onde semplici. Applicazione alla fluido-dinamica isentropica ed ai mezzi elettromagnetici non lineari. Sistemi quasi lineari iperbolici. Onde di accelerazione. Propagazione dei fronti d’onda e trasporto delle discontinuità. Propagazione in uno stato costante. Onde di discontinuità in fluidodinamica ed elettromagnetismo. MODULO B. Definizione e classificazione dei modelli matematici. Modellazione matematica. Riduzione di una equazione differenziale lineare del secondo ordine ad un sistema quasi lineare del primo ordine. Sistemi quasi lineari del primo ordine. Varietà caratteristiche. Classificazione di un sistema quasi lineare del primo ordine. Forma caratteristica di un sistema quasi lineare del primo ordine in due variabili indipendenti. Sistemi di tipo iperbolico in senso stretto in due variabili indipendenti. Metodo della separazione delle variabili per un’equazione differenziale lineare del secondo ordine. Alcune equazioni fondamentali della Fisica matematica: equazione delle onde, equazioni di Laplace e Poisson, equazione del calore. Equazione delle onde - Costruzione dell’equazione delle onde come modello per descrivere le piccole vibrazioni trasversali di una corda perfettamente flessibile. Condizioni iniziali e al contorno. Equazione delle corde vibranti. Il problema di Cauchy globale: la formula di d’Alembert. Interpretazione della soluzione, dominio di influenza dei dati iniziali e dominio di dipendenza della soluzione dai dati iniziali. Il problema di Cauchy-Dirichlet: soluzione con il metodo di separazione delle variabili e con il metodo di D’Alembert. Vibrazioni forzate con condizioni al contorno omogenee e non omogenee. L’equazione dei telegrafisti. Equazione di Laplace – Proprietà della soluzione. Principio del massimo. Problema di Dirichlet e di Neumann in un rettangolo ed in un cerchio. Equazione del calore – Costruzione dell’equazione del calore come modello descrivente un fenomeno diffusivo con flusso contro gradiente. Problemi ai valori iniziali e al contorno. Principio del massimo. Unicità della soluzione. Metodi di risoluzione. Soluzione esponenziale. Formula di Green. Proprietà della soluzione. Soluzione del problema misto. Equazioni e sistemi di reazione diffusione. Instabilità di Touring.

Course Syllabus

MODULO A. Classical electrodynamics. Time-dependent fields and Faraday’s law of induction. Maxwell equations. Electromagnetic potentials. Electromagnetic density. Poynting theorem and conservation of energy. D’Alembert equation, initial boundary-value problems: Dirichlet, Neumann and Robin problems. Plane electromagnetic waves. The wave equation in n-dimensional space. The method of spherical means: the Poisson formula. Hadamard method of descendent. Duhamel’s principle and the general Cauchy problem. Nonlinear wave propagation. Quasi-linear first order partial differential equations: characteristic manifolds and Cauchy problem. Second-order equations: hyperbolic equations for functions of two independent variables. Cauchy-Kowalevski Theorem. Riemann’s method of integration for second order partial differential equations. The Goursat problem. Quasi-linear hyperbolic 2x2 systems: hodograph method and Riemann invariants. Simple waves. Isentropic fluid-dynamics, nonlinear dielectric media. Hyperbolic first-order quasi-linear systems. Acceleration waves, characteristic manifolds and transport equations for weak discontinuities. MODULO B. Definition and classification of mathematical models. Mathematical modeling. Reduction of a linear second order partial differential equation with non-characteristic initial data to a quasi-linear first order system. Quasi-linear first order systems. Characteristic manifolds. Classification of a quasi-linear first order system. Characteristic form of a quasi-linear first order system in two independent variables. The method of separation of variables for a linear second order differential equation. Some fundamental equations of mathematical physics: the wave equation, Laplace and Poisson’s equations, the heat equation. Vibrations of a homogeneous infinite string , vibrations of a string fixed at both ends: D'Alembert and Bernoulli-Fourier methods. Forced vibrations of a string fixed at the end. The telegrapher's equation. Dirichlet and Neumann problems for Laplace and Poisson’s equations. Heat equation: fundamental solution, maximum principle, existence and uniqueness results. The mixed problem for the heat equation.