Obiettivi Formativi

Il modulo si propone l'acquisizione dei fondamenti del calcolo differenziale e integrale di funzioni di più variabili reali nonché le tecniche di integrazione su curve e sviluppi in serie curando lo sviluppo della capacità di applicarli in ambito scientifico. Precisamente, gli obiettivi formativi del corso consistono in quanto segue: Acquisizione dei metodi e delle tecniche fondamentali dell’Analisi per funzioni di più variabili reali, e per l’integrazione su curve e sviluppi in serie. Capacità di esporre i metodi e le tecniche fondamentali nonché di proporre eventuali formulazioni autonome di teorie e modelli. Capacità di rispondere correttamente ed efficacemente alle domande dirette. Capacità di applicare gli strumenti matematici presentati e di utilizzarli in contesti sia teorici che applicativi diversi da quelli propri del corso. Autovalutazione del grado di conoscenza. Capacità, con autonomia di giudizio, nel formulare ed analizzare problemi nonché nell’ applicare le metodologie matematiche opportune. Capacità di sviluppare le capacità comunicative necessarie per rappresentare e discutere gli argomenti fondamentali della disciplina. Capacità di comunicare ed esprimere problematiche inerenti i contenuti del corso. Acquisizione di un metodo di studio basato su un approccio critico, che prevede anche una fase di approfondimento autonomo.

Learning Goals

The module aims to provide the fundamentals of differential and integral calculus of functions of several real variables as well as of integration techniques on curves and development in series of functions, taking care of the development of the ability to apply them in the scientific field. Precisely, the objectives of the course can be listed as follows: Acquisition of the fundamental methods and techniques of Mathematical Analysis for functions of several real variables, and for integration on curves and development in series of functions. Ability to expose the fundamental methods and techniques as well as to propose possible autonomous formulations of theories and models. Ability to answer correctly and effectively to direct questions. Aptitude to apply and use the proposed mathematical tools both in theoretical and applied contexts that are different from those of the course. Self-assessment of degree of knowledge. Ability, with autonomy of judgment, in formulating and analyzing problems as well as to apply the appropriate mathematical methodologies. Ability to develop the communication skills necessary for representing and discussing the fundamental arguments of the discipline. Ability to communicate and express issues related to the course content. Acquisition of a studying method based on a critical approach, including the autonomous study.

Metodi didattici

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Teaching Methods

The course, in order to achieve the expected objectives, mainly takes place through lectures. There are also practical based lessons, guided exercises with teacher support, and exam simulations with the aim of stimulating the approach to problem solving with autonomy and a critical thinking.

Prerequisiti

Conoscenze di analisi matematica di base e degli argomenti svolti nel corso di Analisi Matematica I

Prerequisites

Knowledge of basic mathematical analysis and of the topics covered in the course of Mathematical Analysis 1

Verifiche dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale. L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 15/30. Superata la prova scritta, essa ha validità per tutto l’anno accademico entro il quale dovrà essere sostenuta la prova orale. La prova orale è incentrata sugli argomenti trattati durante il corso (definizioni, esempi rilevanti, teoremi, dimostrazioni, applicazioni, collegamenti tra i vari argomenti.). Essa ha il duplice scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione dei contenuti del corso e di valutare l'autonomia di giudizio, la capacità di apprendimento, l'abilità comunicativa e proprietà di linguaggio scientifico e indi valutare le facoltà logico-deduttive acquisite dallo studente. Il voto finale è espresso in trentesimi e tiene conto della valutazione ottenuta durante la prova scritta e durante la prova orale.

Assessment

The exam consists of a written test followed by an oral test. During the written test, students are asked to perform the complete development of exercises . The topics and the level of the exercises correspond to the program delivered and to the reference texts indicated. The time allotted for the written test is two hours. The evaluation of the written test is scored out of thirty. The written test is considered passed if the overall evaluation is not less than 15/30. Once the written test has been passed, it is valid for the entire academic year within which the oral exam must be taken. The oral exam focuses on the topics covered during the course (definitions, relevant examples, theorems, proofs, applications, links between the various topics.). It has the dual purpose of verifying the level of knowledge and understanding of the course contents and to evaluate the autonomy of judgment, the learning ability, the communicative ability and properties of scientific language and then evaluate the logical-deductive faculties acquired by the student. The final grade is expressed out of thirty and takes into account the evaluation obtained during the written exam and during the oral exam.

Programma del Corso

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia in R^n - funzioni di più variabili: limiti e continuità - derivate parziali - derivate direzionali - differenziale e funzioni differenziabili - teorema del differenziale totale - funzioni composte - teorema del valor medio - derivate successive - teorema di Schwarz - differenziale - matrice hessiana - derivazione funzioni vettoriali - matrice jacobiana - massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili -forme quadratiche – cenni sulle funzioni implicite ed alcune applicazioni. Integrali curvilinei e forme differenziali Curve regolari - lunghezza di una curva - ascissa curvilinea - integrale curvilineo di una funzione - forme differenziali - integrale curvilineo di una forma differenziale. Calcolo integrale per funzioni di più variabili Integrali doppi - domini normali - integrale di funzione limitata su domini normali - proprietà elementari dell'integrale doppio - calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione - cambiamento di variabili Equazioni differenziali ordinarie. equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee, equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti; equazioni lineari non omogenee. Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

Course Syllabus

Differential calculus for functions of several variables. Elements of topology in R ^ n - functions of several variables: limits and continuity - partial derivatives - directional derivatives - differential and differentiable functions - total differential theorem - compound functions - mean value theorem - successive derivatives - Schwarz theorem - differential - hessian matrix - derivation of vector functions - jacobian matrix - local maxima and minima for functions of several variables - quadratic forms - hints on implicit functions and some applications. Curvilinear integrals and differential forms Regular curves - length of a curve - curvilinear abscissa - curvilinear integral of a function - differential forms - curvilinear integral of a differential form. Integral calculus for functions of several variables Double integrals - normal domains - integral of bounded function on normal domains - elementary properties of the double integral - calculus of double integrals: reduction method - change of variables Ordinary differential equations. differential equations with separable variables; non-homogeneous linear differential equations of the first order, homogeneous linear differential equations with constant coefficients; non-homogeneous linear equations. Sequences and series of functions. Power series. Taylor series. Fourier series. Differential calculus for functions of several variables. Elements of topology in R ^ n - functions of several variables: limits and continuity - partial derivatives - directional derivatives - differential and differentiable functions - total differential theorem - compound functions - mean value theorem - successive derivatives - Schwarz theorem - differential - hessian matrix - derivation of vector functions - jacobian matrix - local maxima and minima for functions of several variables - quadratic forms - hints on implicit functions and some applications. Curvilinear integrals and differential forms Regular curves - length of a curve - curvilinear abscissa - curvilinear integral of a function - differential forms - curvilinear integral of a differential form. Integral calculus for functions of several variables Double integrals - normal domains - integral of bounded function on normal domains - elementary properties of the double integral - calculus of double integrals: reduction method - change of variables Ordinary differential equations. differential equations with separable variables; non-homogeneous linear differential equations of the first order, homogeneous linear differential equations with constant coefficients; non-homogeneous linear equations. Sequences and series of functions. Power series. Taylor series. Fourier series.